Distribució hipergeomètrica negativa

Distribució hipergeomètrica negativa

Tipus	distribució de probabilitat discreta

En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució hipergeomètrica negativa descriu probabilitats per al mostreig d'una població finita sense substitució en la qual cada mostra es pot classificar en dues categories mútuament excloents com Aprovat/No o Ocupat/Desocupat. A mesura que es fan seleccions aleatòries a partir de la població, cada sorteig posterior disminueix la població fent que la probabilitat d'èxit canviï amb cada sorteig. A diferència de la distribució hipergeomètrica estàndard, que descriu el nombre d'èxits en una mida de mostra fixa, en la distribució hipergeomètrica negativa, les mostres es treuen fins que ${\displaystyle r}$ s'han trobat errors i la distribució descriu la probabilitat de trobar-los ${\displaystyle k}$ èxits en aquesta mostra. En altres paraules, la distribució hipergeomètrica negativa descriu la probabilitat de ${\displaystyle k}$ èxits en una mostra amb exactament ${\displaystyle r}$ fracassos.^[1]

Definició

N'hi ha ${\displaystyle N}$ elements, dels quals ${\displaystyle K}$ es defineixen com a "èxits" i la resta són "fracassos".

Els elements es dibuixen un darrere l'altre, sense substitucions, fins que ${\displaystyle r}$ es troben fracassos. Aleshores, el dibuix s'atura i el número ${\displaystyle k}$ d'èxits es comptabilitzen. La distribució hipergeomètrica negativa, ${\displaystyle NHG_{N,K,r}(k)}$ és la distribució discreta d'aquesta ${\displaystyle k}$.^[2]

La distribució hipergeomètrica negativa és un cas especial de la distribució binomial beta amb paràmetres ${\displaystyle \alpha =r}$ i ${\displaystyle \beta =N-K-r+1}$ tots dos són nombres enters (i ${\displaystyle n=K}$).

El resultat requereix que observem ${\displaystyle k}$ èxits en ${\displaystyle (k+r-1)}$ sorteja i el ${\displaystyle (k+r){\text{-th}}}$ bit ha de ser un fracàs. La probabilitat de la primera es pot trobar mitjançant l'aplicació directa de la distribució hipergeomètrica ${\displaystyle (HG_{N,K,k+r-1}(k))}$ i la probabilitat d'aquest últim és simplement el nombre de fallades restants ${\displaystyle (=N-K-(r-1))}$ dividit per la mida de la població restant ${\displaystyle (=N-(k+r-1)}$. La probabilitat de tenir exactament ${\displaystyle k}$ èxits fins al ${\displaystyle r{\text{-th}}}$ fallada (és a dir, el dibuix s'atura tan bon punt la mostra inclou el nombre predefinit de ${\displaystyle r}$ fallades) és aleshores el producte d'aquestes dues probabilitats: ^[3]

${\displaystyle {\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{k+r-1-k}}}{\binom {N}{k+r-1}}}\cdot {\frac {N-K-(r-1)}{N-(k+r-1)}}={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}.}$

Per tant, una variable aleatòria ${\displaystyle X}$ segueix la distribució hipergeomètrica negativa si la seva funció de massa de probabilitat (pmf) ve donada per ^[4]

${\displaystyle f(k;N,K,r)\equiv \Pr(X=k)={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc ,K}$

on

• és la mida de la població,
• és el nombre d'estats d'èxit a la població,
• és el nombre de fallades,
• és el nombre d'èxits observats,
• és un coeficient binomial

Referències