Sèrie alternada

En matemàtiques, una sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},}

amb an ≥ 0 (o an ≤ 0) per a tot n. Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme an convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|an+1|.

Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica

∑ n = 1 ∞ 1 n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!}

divergeix, mentre la versió que alternada

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!}

convergeix al logaritme natural de 2. Un test més ampli per a la convergència d'una sèrie alternada és el test de Leibniz: si la successió a n {\displaystyle a_{n}} és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors la sèrie

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}

convergeix.

La suma parcial

s n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}}

es pot fer servir per aproximar la suma d'una sèrie alternada convergent.

Si a n {\displaystyle a_{n}} és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors l'error

en aquesta aproximació és menor que a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}} . Aquesta última observació és la base del test de Leibniz. En efecte, si la successió a n {\displaystyle a_{n}} tendeix a zero i és monòtona decreixent (com a mínim des d'un cert punt), es pot fàcilment demostrar que la successió de sumes parcials és una Successió de Cauchy. Assumint m < n {\displaystyle m<n}

| ∑ k = 0 m ( − 1 ) k a k − ∑ k = 0 n ( − 1 ) k a k | = | ∑ k = m + 1 n ( − 1 ) k a k | = a m + 1 − a m + 2 + a m + 3 − a m + 4 + ⋯ + a n   = a m + 1 − ( a m + 2 − a m + 3 ) − ( a m + 4 − a m + 5 ) − ⋯ − a n < a m + 1 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|&=&\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\\ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}<a_{m+1}\end{array}}}

(la successió que és monòtona decreixent garanteix que a k − a k + 1 > 0 {\displaystyle a_{k}-a_{k+1}>0} ; fixeu-vos que formalment es necessita tenir en compte si n {\displaystyle n} és parell o senar, però això no canvia la idea de la demostració)

Com que a m + 1 → 0 {\displaystyle a_{m+1}\rightarrow 0} quan m → ∞ {\displaystyle m\rightarrow \infty } , la successió de sumes parcials és Cauchy, i per tant la sèrie és convergent. Com que l'estimació anterior no depèn de n {\displaystyle n} , també demostra que

| ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k a k − ∑ k = 0 m ( − 1 ) k a k | < a m + 1 . {\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|<a_{m+1}.}

Les sèries alternades convergents que no convergeixen absolutament són exemples de sèries condicionalment convergents. En particular, el teorema de sèries de Riemann s'aplica a les seves reordenacions.