Viètovy vzorce

Viètovy vzorce, pojmenované po Françoisi Viètovi, jsou vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomů.

Obecný zápis

Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,} s koeficienty a n , a n − 1 , ⋯ , a 1 , a 0 {\displaystyle a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}} náležejícími R {\displaystyle \mathbb {R} } či C {\displaystyle \mathbb {C} } , kde an≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x1, x2, ..., xn. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:

{ x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n . {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
Výrazy vlevo jsou tzv. elementární symetrické polynomy n proměnných (prvního až n-tého stupně).
σ k ( x 1 , . . . , x n ) = ( − 1 ) k a n − k a n . {\displaystyle \sigma _{k}{(x_{1},...,x_{n})}=(-1)^{k}{\tfrac {a_{n-k}}{a_{n}}}.}

Tato soustava rovnic však zpravidla nemá jednodušší řešení než původní rovnice.

Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů.

Příklad

Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.

Mějme polynom: p ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c} , s kořeny x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} , kde p ( x ) = 0 {\displaystyle p(x)=0} . Potom můžeme psát:
x 1 + x 2 = − b a , x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
Pro racionální koeficienty lze někdy pomocí těchto vzorců kořeny uhádnout.

Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát následující.

Mějme polynom: q ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} , s kořeny x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} , kde q ( x ) = 0 {\displaystyle q(x)=0} . Potom:
x 1 + x 2 + x 3 = − b a , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a , x 1 x 2 x 3 = − d a {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Viète's formulas na anglické Wikipedii.