Desigualdad de Minkowski

En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski establece que los espacios L^p son espacios vectoriales con una norma. Sea ${\displaystyle S}$ un espacio medible, sea ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ y sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ elementos de ${\displaystyle L^{p}(S)}$. Entonces ${\displaystyle f+g}$ es de ${\displaystyle L^{p}(S)}$, y se tiene

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

con la igualdad para el caso ${\displaystyle 1<p<\infty }$ si y sólo si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son positivamente linealmente dependientes (lo que significa que ${\displaystyle f=\lambda g}$ o ${\displaystyle g=\lambda f}$ para alguna ${\displaystyle \lambda \geq 0}$).

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en ${\displaystyle L^{p}(S)}$.

Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$

para todos los números reales (o complejos) ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},~y_{1},\dots ,y_{n}}$ y donde ${\displaystyle n}$ es el cardinal de ${\displaystyle S}$ (el número de elementos de ${\displaystyle S}$).

Demostración

Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen. Esto se sigue de que

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})}$

En efecto, usando el hecho de que ${\displaystyle h(x)=x^{p}}$ es una función convexa sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ (para ${\displaystyle p}$ mayor que 1) y, por tanto, que, si a y b son ambos positivos, entonces

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}}$

tenemos que

${\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}}$

Ahora, se puede hablar legítimamente de ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$ . Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. Podemos suponer, pues, que ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$ no es cero. Usando la desigualdad de Hölder,

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}$

${\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}$

De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por ${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}}$. ${\displaystyle \quad \square }$

Referencias

• Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library (1952a ed. edición). Cambridge: Cambridge University Press. p. xii+324. ISBN 0-521-35880-9. 
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104