Espacio contráctil

La noción de espacio contráctil o contractible es muy importante en topología algebraica, ya que representa la clase más sencilla de espacios desde el punto de vista de la homotopía.^[1]​^[2]​

En topología, un espacio topológico ${\displaystyle X}$ es contráctil si tiene el tipo de homotopía de un punto, es decir, si existe una equivalencia homotópica entre el espacio ${\displaystyle X}$ y un espacio ${\displaystyle \{q\}}$ formado por un solo punto.^[3]​

En un espacio topológico contráctil ${\displaystyle X}$ o contractible la aplicación identidad ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$ es homótopa a alguna aplicación constante ${\displaystyle c:X\to X}$ tal que ${\displaystyle c(x)=p}$ con ${\displaystyle p\in X}$ para cualquier ${\displaystyle x\in X}$. Intuitivamente, un espacio contráctil puede ser deformado continuamente hasta convertirlo en un punto.^[4]​ ^[5]​ ^[6]​

Propiedades

Un espacio contráctil verifica las siguientes propiedades:

• Es conexo por caminos.
• Su grupo fundamental de homotopía es trivial.
• Como consecuencia de las dos propiedades anteriores, es simplemente conexo.

Ejemplos

• El espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es contráctil.
• La esfera n-dimensional ${\displaystyle S^{n}}$ no es contráctil.
• La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones es contráctil como consecuencia del teorema de Kuiper.

Referencias

Bibliografía

• Ayala-Domínguez-Quintero (2002). Elementos de la teoría de homología clásica. Universidad de Sevilla. Secretariado de publicaciones. ISBN 84-472-0705-6.