Funcional de Minkowski

Teorema^[2]​

Si ${\displaystyle K}$ es un disco absorbente en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$, entonces el funcional de Minkowski de ${\displaystyle K}$, que es la aplicación ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty )}$ definida por

${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\}}$

es una seminorma en ${\displaystyle X}$.

Además,

${\displaystyle p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in K\}}}.}$

Teorema

Supóngase que ${\displaystyle K}$ es un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X}$. Entonces, se demuestra que:

1. Si ${\displaystyle K}$ es convexo, entonces ${\displaystyle p_{K}}$ es subaditivo.
2. Si ${\displaystyle K}$ es equilibrado, entonces ${\displaystyle p_{K}}$ es absolutamente homogéneo; es decir, ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$.

Convexidad y subaditividad

Un argumento geométrico simple que muestra que la convexidad de ${\displaystyle K}$ implica subaditividad es el siguiente: Supóngase por el momento que ${\displaystyle p_{K}(x)=p_{K}(y)=r}$. Entonces, para todo ${\displaystyle e>0}$, ${\displaystyle x,y\in K_{e}:=(r,e)K}$. Dado que ${\displaystyle K}$ es convexo y ${\displaystyle r+e\neq 0}$, entonces ${\displaystyle K_{e}}$ también es convexo. Por lo tanto, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\in K_{e}}$. Por definición del funcional de Minkowski ${\displaystyle p_{K}}$

${\displaystyle p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+e={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+e}$

Pero el lado izquierdo de la ecuación es ${\displaystyle {\frac {1}{2}}p_{K}(x+y)}$, por lo que

${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+2e}$.

Dado que ${\displaystyle e>0}$ era arbitrario, se deduce que ${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)}$, es la desigualdad buscada. El caso general ${\displaystyle p_{K}(x)>p_{K}(y)}$ se obtiene tras la modificación obvia.

La convexidad de ${\displaystyle K}$, junto con el supuesto inicial de que el conjunto ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ no está vacío, implica que ${\displaystyle K}$ es absorbente.

Equilibrio y homogeneidad absoluta

Observe que el hecho de que ${\displaystyle K}$ esté equilibrado implica que

${\displaystyle \lambda x\in rK\quad {\mbox{if and only if}}\quad x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K.}$

Por lo tanto:

${\displaystyle p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x).}$

Sumario

Supóngase que ${\displaystyle K}$ es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo ${\displaystyle X}$. Entonces:

1. Función homogénea: ${\displaystyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ para todos los ${\displaystyle x\in X}$ y todos los ${\displaystyle r>0}$ positivos reales.
   • Homogeneidad positiva/no negativa: ${\displaystyle p_{K}}$ es homogéneo no negativo si y solo si ${\displaystyle p_{K}}$ tiene un valor real.
     • Una aplicación ${\displaystyle p}$ se llama homogénea no negativa^[7]​ si ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle r\geq 0}$ no negativo real. Dado que ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ no está definido, una aplicación que toma el infinito como valor no es homogénea no negativa.
2. Valor real: ${\displaystyle (0,\infty )K}$ es el conjunto de todos los puntos en los que ${\displaystyle p_{K}}$ tiene un valor real. Entonces ${\displaystyle p_{K}}$ tiene valor real si y solo si ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$, en cuyo caso ${\displaystyle 0\in K}$.
   • Valor en ${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle p_{K}(0)\neq \infty }$ si y solo si ${\displaystyle 0\in K}$ si y solo si ${\displaystyle p_{K}(0)=0}$.
   • Núcleo: Si ${\displaystyle x\in X}$ entonces ${\displaystyle p_{K}(x)=0}$ si y solo si ${\displaystyle (0,\infty )x\subseteq (0,1)K}$ si y solo si existe una secuencia divergente de números reales positivos ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\cdots \to \infty }$ tal que ${\displaystyle t_{n}x\in K}$ para todo ${\displaystyle n}$. Además, el conjunto cero de ${\displaystyle p_{K}}$ es ${\displaystyle \ker p_{K}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{ def }}}{=}}~{yX:p_{K}(y)=0}=_{e}>0(0,e)K}$.
3. Comparación con una constante: Si ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ entonces para cualquier ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle p_{K}(x)<r}$ si y solo si ${\displaystyle x\in (0,r)K}$. Este enunciado se puede reformular como: Si ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ entonces ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K}$.
   • Se deduce que si ${\displaystyle 0\leq R<\infty }$ es real entonces ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,R])={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$, donde el conjunto del lado derecho denota ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}[(0,R+e)K]}$ y no su subconjunto ${\displaystyle \left[{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)\right]K=(0,R]K}$. Si ${\displaystyle R>0}$ entonces estos conjuntos son iguales si y solo si ${\displaystyle K}$ contiene a ${\displaystyle \left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}}$.
   • En particular, si ${\displaystyle x\in RK}$ o ${\displaystyle x\in (0,R]K}$ entonces ${\displaystyle p_{K}(x)\leq R}$, pero, lo que es más importante, lo contrario no es necesariamente cierto.
4. Comparación de calibre: Para cualquier subconjunto ${\displaystyle L\subseteq X}$, ${\displaystyle p_{K}\leq p_{L}}$ si y solo si ${\displaystyle (0,1)L\subseteq (0,1)K}$; y por lo tanto ${\displaystyle p_{L}=p_{K}}$ si y solo si ${\displaystyle (0,1)L=(0,1)K}$.
   • La asignación ${\displaystyle L\mapsto p_{L}}$ es de orden inverso en el sentido de que si ${\displaystyle K\subseteq L}$ entonces ${\displaystyle p_{L}\leq p_{K}}$.^[8]​
   • Debido a que el conjunto ${\displaystyle L:=(0,1)K}$ satisface que ${\displaystyle (0,1)L=(0,1)K}$, se deduce que reemplazar ${\displaystyle K}$ con ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K}$ no cambiará el funcional de Minkowski resultante. Lo mismo ocurre con ${\displaystyle L:=(0,1]K}$ y con ${\displaystyle L:=p_{K}^{-1}([0,1])}$.
   • Si ${\displaystyle D~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{ def }}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ o }}p_{K}(y)=0\right\}}$ entonces ${\displaystyle p_{D}=p_{K}}$ y ${\displaystyle D}$ tienen la propiedad particularmente conveniente de que si ${\displaystyle r>0}$ es real entonces ${\displaystyle x\in rD}$ si y solo si ${\displaystyle p_{D}(x)=r}$ o ${\displaystyle p_{D}(x)=0}$.^{[nota 1]}​ Además, si ${\displaystyle r>0}$ es real entonces ${\displaystyle p_{D}(x)\leq r}$ si y solo si ${\displaystyle x\in (0,r]D}$.
5. Subaditividad/desigualdad triangular: ${\displaystyle p_{K}}$ es subaditivo si y solo si ${\displaystyle (0,1)K}$ es convexo. Si ${\displaystyle K}$ es convexo, entonces también lo son ${\displaystyle (0,1)K}$ y ${\displaystyle (0,1]K}$ y, además, ${\displaystyle p_{K}}$ es subaditivo.
6. Escalado del conjunto: Si ${\displaystyle s\neq 0}$ es un escalar, entonces ${\displaystyle p_{sK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{s}}y\right)}$ para todos los ${\displaystyle y\in X}$. Por lo tanto, si ${\displaystyle 0<r<\infty }$ es real, entonces ${\displaystyle p_{rK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{r}}y\right)={\tfrac {1}{r}}p_{K}(y)}$.
7. Función homogénea: ${\displaystyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ para todos los ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares de longitud unitaria ${\displaystyle u}$^{[nota 2]}​ si y solo si ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ para todos los escalares de longitud unitaria ${\displaystyle u}$, en cuyo caso ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ para todos los ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares no nulos ${\displaystyle s\neq 0}$. Si además ${\displaystyle p_{K}}$ también es real-valorado, entonces esto es válido para todos los escalares ${\displaystyle s}$ (es decir, ${\displaystyle p_{K}}$ es^{[nota 3]}​ absolutamente homogéneo).
   • ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ para todas las longitudes unitarias ${\displaystyle u}$ si y solo si ${\displaystyle (0,1)uK=(0,1)K}$ para todas las longitudes unitarias ${\displaystyle u}$.
   • ${\displaystyle sK\subseteq K}$ para todos los escalares unitarios ${\displaystyle s}$ si y solo si ${\displaystyle sK=K}$ para todos los escalares unitarios ${\displaystyle s;}$ si este es el caso, entonces ${\displaystyle (0,1)K=(0,1)sK}$ para todos los escalares unitarios ${\displaystyle s}$.
   • ${\displaystyle p_{K}}$ es simétrico (es decir, ${\displaystyle p_{K}(-y)=p_{K}(y)}$ para todos los ${\displaystyle y\in X}$) si y solo si ${\displaystyle p_{K}=p_{-K}}$, lo que ocurre si y solo si ${\displaystyle (0,1)K=-(0,1)K}$.
   • El funcional de Minkowski de cualquier conjunto equilibrado es una función equilibrada.^[8]​
   </l i>
8. Absorbente: Si ${\displaystyle K}$ es convexo, o está equilibrado y si ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$ entonces ${\displaystyle K}$ es absorbente en ${\displaystyle X}$.
   • Si un conjunto ${\displaystyle A}$ es absorbente en ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle A\subseteq K}$, entonces ${\displaystyle K}$ es absorbiente en ${\displaystyle X}$.
   • Si ${\displaystyle K}$ es convexo y ${\displaystyle 0\in K}$ entonces ${\displaystyle [0,1]K=K}$, en cuyo caso ${\displaystyle (0,1)K\subseteq K}$.
9. Restricción a un subespacio vectorial: Si ${\displaystyle S}$ es un subespacio vectorial de ${\displaystyle X}$ y si ${\displaystyle p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]}$ denota el funcional de Minkowski de ${\displaystyle K\cap S}$ en ${\displaystyle S}$, entonces ${\displaystyle p_{K}{\big \vert }_{S}=p_{K\cap S}}$, donde ${\displaystyle p_{K}{\big \vert }_{S}}$ denota la restricción de ${\displaystyle p_{K}}$ a ${\displaystyle S}$.

La prueba de que un subconjunto convexo ${\displaystyle A\subseteq X}$ que satisface ${\displaystyle (0,\infty )A=X}$ es necesariamente absorbente en ${\displaystyle X}$ es sencilla y se puede encontrar en el artículo sobre conjuntos absorbentes.

Para cualquier ${\displaystyle t>0}$ real

${\displaystyle \{r>0:tx\in rK\}=\{t(r/t):x\in (r/t)K\}=t\{s>0:x\in sK\}}$

de modo que tomando el mínimo de ambos lados se comprueba que

${\displaystyle p_{K}(tx)=\inf\{r>0:tx\in rK\}=t\inf\{s>0:x\in sK\}=tp_{K}(x)}$.

Esto demuestra que los funcionales de Minkowski son estrictamente homogéneos positivos. Para que ${\displaystyle 0\cdot p_{K}(x)}$ esté bien definido, es necesario y suficiente que ${\displaystyle p_{K}(x)\neq \infty }$, por lo tanto, ${\displaystyle p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo valor real no negativo ${\displaystyle t\geq 0}$ si y solo si ${\displaystyle p_{K}}$ tiene un valor real.

La hipótesis del enunciado (7) permite concluir que ${\displaystyle p_{K}(sx)=p_{K}(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares ${\displaystyle s}$ que satisfacen ${\displaystyle |s|=1}$. Todo escalar ${\displaystyle s}$ tiene la forma ${\displaystyle re^{it}}$ para algún ${\displaystyle t}$ real donde ${\displaystyle r:=|s|\geq 0}$ y ${\displaystyle e^{it}}$ son reales si y solo si ${\displaystyle s}$ es real. Los resultados de la afirmación sobre la homogeneidad absoluta se derivan inmediatamente de la conclusión antes mencionada, de la estricta homogeneidad positiva de ${\displaystyle p_{K}}$, y de la homogeneidad positiva de ${\displaystyle p_{K}}$ cuando ${\displaystyle p_{K}}$ tiene un valor real. ${\displaystyle \blacksquare }$

Teorema

Sea ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$ cualquier función. Las siguientes declaraciones son equivalentes:

1. Función homogénea: ${\displaystyle \;f(tx)=tf(x)}$ para todos los ${\displaystyle x\in X}$ y todos los ${\displaystyle t>0}$ reales positivos.
   • Esta afirmación equivale a: ${\displaystyle f(tx)\leq tf(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle t>0}$ real positivo.
2. ${\displaystyle f}$ es un funcional de Minkowski: Esto significa que existe un subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X}$ tal que ${\displaystyle f=p_{S}}$.
3. ${\displaystyle f=p_{K}}$ donde ${\displaystyle K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}}$.
4. ${\displaystyle f=p_{V}\,}$, donde ${\displaystyle V\,:=\{x\in X:f(x)<1\}}$.

Además, si ${\displaystyle f}$ nunca toma el valor ${\displaystyle \,\infty \,}$ (de modo que el producto ${\displaystyle 0\cdot f(x)}$ siempre está bien definido), entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

5. Función homogénea/Positiva: ${\displaystyle f(tx)=tf(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle t\geq 0}$ real no negativo.

${\displaystyle f(tx)\leq tf(x)}$

${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle tf(x)=tf\left({\tfrac {1}{t}}(tx)\right)\leq t{\tfrac {1}{t}}f(tx)=f(tx)\leq tf(x)}$

${\displaystyle tf(x)=f(tx)}$

Sólo (1) implica que (3) será demostrado porque después, el resto del teorema se sigue inmediatamente de las propiedades básicas de los funcionales de Minkowski descritas anteriormente, propiedades que en adelante se utilizarán sin comentarios.

Entonces, supóngase que ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$ es una función tal que ${\displaystyle f(tx)=tf(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle t>0}$ real, y sea ${\displaystyle K:=\{y\in X:f(y)\leq 1\}}$.

Para todos los ${\displaystyle t>0}$, ${\displaystyle f(0)=f(t0)=tf(0)}$ reales, tomando ${\displaystyle t=2}$ por ejemplo, se deduce que ${\displaystyle f(0)=0}$ o que ${\displaystyle f(0)=\infty }$.

Sea ${\displaystyle x\in X}$. Entonces, queda por demostrar que ${\displaystyle f(x)=p_{K}(x)}$.

A continuación se demuestra que si ${\displaystyle f(x)=0}$ o ${\displaystyle f(x)=\infty }$ entonces ${\displaystyle f(x)=p_{K}(x)}$, de modo que en particular se sigue que ${\displaystyle f(0)=p_{K}(0)}$. Entonces, supóngase que ${\displaystyle f(x)=0}$ o ${\displaystyle f(x)=\infty ;}$ en cualquier caso ${\displaystyle f(tx)=tf(x)=f(x)}$ para todos los ${\displaystyle t>0}$ reales. Ahora bien, si ${\displaystyle f(x)=0}$, entonces esto implica que ese ${\displaystyle tx\in K}$ es para todo ${\displaystyle t>0}$ real (desde ${\displaystyle f(tx)=0\leq 1}$), lo que implica que ${\displaystyle p_{K}(x)=0}$, tal como se quería comprobar. De manera similar, si ${\displaystyle f(x)=\infty }$ entonces ${\displaystyle tx\not \in K}$ para todos los ${\displaystyle t>0}$ reales, lo que implica que ${\displaystyle p_{K}(x)=\infty }$. Por lo tanto, en adelante se supondrá que ${\displaystyle R:=f(x)}$ es un número real positivo y que ${\displaystyle x\neq 0}$ (sin embargo, es importante destacar que aún no se ha descartado la posibilidad de que ${\displaystyle p_{K}(x)}$ sea ${\displaystyle 0}$ o ${\displaystyle \,\infty \,}$).

Recuérdese que al igual que ${\displaystyle f}$, la función ${\displaystyle p_{K}}$ satisface que ${\displaystyle p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}$ para todos los ${\displaystyle t>0}$ reales. Puesto que ${\displaystyle 0<{\tfrac {1}{R}}<\infty }$, ${\displaystyle p_{K}(x)=R=f(x)}$ si y solo si ${\displaystyle p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1=f\left({\tfrac {1}{R}}x\right)}$ se asume sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle R=1}$ y queda por demostrar que ${\displaystyle p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1}$. Dado que ${\displaystyle f(x)=1}$, ${\displaystyle x\in K\subseteq (0,1]K}$, esto implica que ${\displaystyle p_{K}(x)\leq 1}$ (en particular, ${\displaystyle p_{K}(x)\neq \infty }$ está garantizado). Queda por demostrar que ${\displaystyle p_{K}(x)\geq 1}$, que debe recordarse que ocurre si y solo si ${\displaystyle x\not \in (0,1)K}$. Así que supóngase, para obtener una contradicción, que ${\displaystyle x\in (0,1)K}$ y sean ${\displaystyle 0<r<1}$ y ${\displaystyle k\in K}$ tales que ${\displaystyle x=rk}$, donde debe tenerse en cuenta que ${\displaystyle k\in K}$ implica que ${\displaystyle f(k)\leq 1}$. Entonces ${\displaystyle 1=f(x)=f(rk)=rf(k)\leq r<1}$. ${\displaystyle \blacksquare }$