Probabilitatean eta estatistikan, aldagai anitzeko banaketa normala — aldagai anitzeko banaketa gaussarra ere deitua— dimentsio bakarreko banaketa normalaren dimentsio handiagoetara orokortzea da.
Definizioa
Notazioa
dimentsioko ausazko bektore bat baldin bada
aldagai anitzeko banaketa normal normalarekin, orduan idazten dugu:
![{\displaystyle X\ \sim {\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8286bb690615a9e6fccc7bc8f447e556aa544e43)
edo
dimentsioaren bektorea dela esan nahi badugu, orduan, erabiliko dugu:
![{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474bf76cba2b9a063eb7bcaead9899a9b7fb422c)
Ausazko bektorea,
, aldagai anitzeko banaketa normalari jarraitzen dio baldintza baliokide hauek betetzen baditu:
- Edozein konbinazio lineal
normal banatuta dago. - Ausazko bektore bat dago,
, eta bere osagaiak estandar normalaren arabera banatutako ausazko aldagai independenteak dira, bektore bat,
, eta matrize bat, ![{\displaystyle n\times m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82325a2a02ad79bc7c347ba9702ad46eb0de824)
, hala nola
. - Bektore bat dago,
, eta matrize erdidefinitu positibo simetriko bat,
; beraz, funtzio ezaugarria
da
![{\displaystyle \phi _{X}\left(u;\mu ,\Sigma \right)=\exp \left(i\mu ^{\top }u-{\frac {1}{2}}u^{\top }\Sigma u\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15759b7fee51a62d5c6456b952225f9f2dbea410)
matrize ez-singular bat bada, orduan, banaketa dentsitate-funtzio honen bidez deskriba daiteke:
![{\displaystyle f_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}|\Sigma |^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{\top }\Sigma ^{-1}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d1f66ce49ee8fab3a0f10130d330cc192f50ed)
non
-k
matrizearen determinantea adierazten duen. Kontuan har nola goiko ekuazioa banaketa normalera murrizten den baldin eta
eskalar bat bada (hau da, 1x1 matrizea).
Bektorea,
egoera hauetan,
-ren itxaropena da, eta
matrizea
osagaien kobariantza matrizea da.
Kobariantza matrizea singularra izan daitekeela ulertzea garrantzitsua da (nahiz eta goiko formulak horrela deskribatzen ez duen, zeinarentzat
definituta dagoen).
Egoera hori maiz agertzen da estatistiketan; adibidez, erregresio linealeko problema arruntetan hondar bektorearen banaketan. Kontuan har, oro har, Xi-ak ez direla, orokorrean, independenteak,
aldagai arrunten bilduma batera
transformazio lineala aplikatzearen emaitza gisa ikus baitaiteke.
Banaketa funtzioa
Banaketa funtzioa
definitzen da ausazko
bektore baten balio guztiak
-ri dagozkion bektorearenak baino txikiagoak edo berdinak izateko probabilitatea bezala. Hala ere,
-k formularik ez badu ere, zenbakizko zenbatespena ahalbidetzen duten algoritmo batzuk daude[1].
Kontrako adibide bat
Izan ere, bi ausazko aldagaik,
eta
, bakoitzak banaketa normal bat jarraitu arren, ez du esan nahi bikoteak (X , Y) banaketa normal bateratua jarraitzen duenik. Adibide sinple bat ematen da
Normala (0,1),
eta
. Hori ausazko bi aldagai baino gehiagotan ere egia da[2].
Normalki banatua eta independentzia
eta
normal banatuta eta independenteak badira, haien banaketa bateratua ere normal banatuta dago; hau da, bikoteak (X , Y ) aldagai biko banaketa bat izan behar du. Nolanahi ere, normal banatutako ausazko aldagai pare bat ez du zertan independentea izan behar elkarrekin kontuan hartzerakoan.
Aldagai biko egoera
Bi dimentsioen egoera partikularrean, dentsitate-funtzioa (0, 0 batebestekoarekin) da:
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {x^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}-{\frac {2\rho xy}{(\sigma _{x}\sigma _{y})}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa2ceb52a2b5b117e073d876bdb7e396c3f9d54)
non
eta
arteko korrelazio-koefizientea
den. Egoera honetan:
![{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\rho \sigma _{x}\sigma _{y}\\\rho \sigma _{x}\sigma _{y}&\sigma _{y}^{2}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c76a574cde60b46eae9443c86049b3ffa24c72)
Eraldaketa afina
, izan ere,
-ren eraldaketa afina bada. non
konstanteen bektorea den eta
den
matrizea, orduan,
-k aldagai anitzeko banaketa normala du
itxaropenarekin eta
bariantzarekin, hau da,
. Bereziki,
-renedozein azpimultzok banaketa marjinal bat du, aldagai anitzeko normala ere badena.
Hori ikusteko, kontuan har honako adibide hau:
azpimultzoa ateratzeko, erabili
![{\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&\ldots &0\\0&1&0&0&0&\ldots &0\\0&0&0&1&0&\ldots &0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28630a1204beef9f81f0bb39f01bebf094743fb9)
nahi diren elementuak zuzenean ateratzen dituena.
banaketaren beste ondorio bat izango litzateke
bektorea
-ren luzera berekoa dela, eta puntuak biderketa bektoriala adierazten du, eta dimentsio bakarreko banaketa gaussarra izango litzateke
rekin. Emaitza hau erabiliz lortzen da:
![{\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\0&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bf97215b0fadaa0d7f11b1d1635c9a158245e1)
eta produktuaren lehen osagaia soilik kontuan hartuta (
-ren lehen lerroa
bektorea da). Kontuan har nola
-ren definizio positiboak gurutzatutako produktuaren bariantza positiboa izan behar dela esan nahi duen.
Interpretazio geometrikoa
Aldagai anitzeko banaketa normal baten ekidensitate-kurbak elipsoideak dira (hau da, hiperesferen transformazio linealak) batezbestekoan zentratuta[3]. Elipsoideen ardatz nagusien norabideak
kobariantza matrizearen bektore propioek ematen dituzte. Ardatz nagusien karratuen luzera erlatiboak dagozkien bektore propioek ematen dituzte.
deskonposizio espektral bat bada, non U-ren zutabeak unitate-bektore propioak diren eta
balio propioen matrize diagonal bat den, orduan, dugu:
![{\displaystyle X\ \sim N(\mu ,\Sigma )\iff X\ \sim \mu +U\Lambda ^{1/2}N(0,I)\iff X\ \sim \mu +UN(0,\Lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6be1f835f6cc0d44a16f8e1c1855ffb0fa9b416)
Era berean, U biraketa-matrize bat izan dadin hauta daiteke
-n ardatz bat alderantziz egiteak eraginik izango ez duena baina, zutabe bat irauliz, U' -ren determinatzailearen zeinua aldatuko duena.
banaketa da, hain zuzen,
-tik eskalatua, U-rekin biratua eta
-tik itzulia.
Alderantziz,
-ren edozein aukerak U maila osoko matrizea, eta
balio diagonal positiboak bide ematen dio banaketa normal ez singular bati. Edozein
zero bada eta U karratua bada,
-ren kobariantza matrizea singularra da. Geometrikoki, horrek esan nahi du kurba elipsoide bakoitza infinitu mehea dela eta bolumen nulua duela n dimentsioko espazioan, betiere, gutxienez ardatz nagusietako batek luzera nulua badu.
Korrelazioak eta independentzia
Oro har, ausazko aldagaiak korrelaziorik gabekoak izan daitezke, baina oso menpekoak izan daitezke. Baina, ausazko bektore batek aldagai anitzeko banaketa normala badu, korrelaziorik gabeko bere osagaietako bi edo gehiago independenteak dira.
Baina ez da egia (bereizita, marjinalki) normal banatuta eta korrelaziorik gabeko bi ausazko aldagai independenteak direnik. Normalki banatuta dauden bi ausazko aldagai baliteke elkarrekin ez egotea. Erlazionatu gabe baina independenteak ez diren banatzen diren bi aldagairen adibide bat ikusteko, ikus: Normalki banatuak eta korrelazionatuak ez dira independentzia suposatzen .
Momentu gorenak
X -ren k-garren ordenako momentu estandarra honela definitzen da
![{\displaystyle \mu _{1,\dots ,N}(X)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{r_{1},\dots ,r_{N}}(X)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ E\left[\prod \limits _{j=1}^{N}X_{j}^{r_{j}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57ed43c60b7444a6b0219eb6a9cef2c825bc607)
non
k ordenako momentu zentralak honela ematen dira:
(a) k bakoitia bada,
.
(b) k bikoitia bada, k-rekin, orduan,
![{\displaystyle \mu _{1,\dots ,2\lambda }(X-\mu )=\sum \left(\sigma _{ij}\sigma _{k\ell }\cdots \sigma _{XZ}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244047533d84acf6dc9227730370679cfac3ab2f)
non batura multzoen xedapen guztien gainean hartzen den
bikotetan (ordenatu gabeak). Hau da, k-garren bat badugu (
) une nagusia
kobariantzaren produktuak gehituko ditugu (-
notazioa irakurgarritasunagatik alde batera utzi da):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}E[X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5}X_{6}]\\&{}=E[X_{1}X_{2}]E[X_{3}X_{4}]E[X_{5}X_{6}]+E[X_{1}X_{2}]E[X_{3}X_{5}]E[X_{4}X_{6}]+E[X_{1}X_{2}]E[X_{3}X_{6}]E[X_{4}X_{5}]\\&{}+E[X_{1}X_{3}]E[X_{2}X_{4}]E[X_{5}X_{6}]+E[X_{1}X_{3}]E[X_{2}X_{5}]E[X_{4}X_{6}]+E[X_{1}X_{3}]E[X_{2}X_{6}]E[X_{4}X_{5}]\\&+E[X_{1}X_{4}]E[X_{2}X_{3}]E[X_{5}X_{6}]+E[X_{1}X_{4}]E[X_{2}X_{5}]E[X_{3}X_{6}]+E[X_{1}X_{4}]E[X_{2}X_{6}]E[X_{3}X_{5}]\\&+E[X_{1}X_{5}]E[X_{2}X_{3}]E[X_{4}X_{6}]+E[X_{1}X_{5}]E[X_{2}X_{4}]E[X_{3}X_{6}]+E[X_{1}X_{5}]E[X_{2}X_{6}]E[X_{3}X_{4}]\\&+E[X_{1}X_{6}]E[X_{2}X_{3}]E[X_{4}X_{5}]+E[X_{1}X_{6}]E[X_{2}X_{4}]E[X_{3}X_{5}]+E[X_{1}X_{6}]E[X_{2}X_{5}]E[X_{3}X_{4}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7ea4f5aa3c42b15afa0ee0504e29aad74b1d76)
Horrek sorrarazten du
terminoak baturan (15 goiko kasuan), bakoitzaren produktua
(3 kasu honetan) kobariantza izanik. Laugarren ordenako mementuetarako (lau aldagai), hiru termino daude. Seigarren ordenako momentuetarako, 3 × 5 = 15 termino daude, eta zortzigarren ordenako momentuetarako 3 × 5 × 7 = 105 termino dira.
Ondoren, kobariantzak
zerrendako terminoak, izan ere, batzuk
zerrendari dagozkion terminoekin ordezkatuz zehazten dira, orduan
biak, etab... Hau argitzeko, kontuan har hurrengo laugarren ordenako momentu zentralaren kasua:
![{\displaystyle E\left[X_{i}^{4}\right]=3\sigma _{ii}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1595d9b3941f2ed8ee75da29cced138307ab78a6)
![{\displaystyle E\left[X_{i}^{3}X_{j}\right]=3\sigma _{ii}\sigma _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0967165c68e8faaf2fb9b05289d9bac27e48dee)
![{\displaystyle E\left[X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right]=\sigma _{ii}\sigma _{jj}+2\left(\sigma _{ij}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510b29da3930184935a609b9a518477b141f70de)
![{\displaystyle E\left[X_{i}^{2}X_{j}X_{k}\right]=\sigma _{ii}\sigma _{jk}+2\sigma _{ij}\sigma _{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0905759cb975f2e75a267d4e467c28973289f671)
![{\displaystyle E\left[X_{i}X_{j}X_{k}X_{n}\right]=\sigma _{ij}\sigma _{kn}+\sigma _{ik}\sigma _{jn}+\sigma _{in}\sigma _{jk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf0a7d73ff2e7923b591abde8aeb5026f047ab0)
non
Y
-ren kobariantza den. Goiko metodoaren ideia da lehen kasu orokorra aurkitzen dugula da
-garrena mementorako, non
aldagai desberdinak
-
dauden, eta, gero, modu egokian sinplifikatu daitezke.
baduzu, gero,
izan dadila, eta hortik
dator.
Banaketa baldintzatuak
eta
honela banatzen badira:
neurriekin
neurriekin ![{\displaystyle {\begin{bmatrix}q\times q&q\times (N-q)\\(N-q)\times q&(N-q)\times (N-q)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7a3c208427b1a9c2ce76807972faf11125be76)
orduan,
-ren banaketa
baldintzatuta, aldagai anitzeko normala da
non
![{\displaystyle {\bar {\mu }}=\mu _{1}+\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\left(a-\mu _{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99068188ce2ba9155a48b719ee8b7be8362fc72c)
eta kobariantza matrizea
![{\displaystyle {\overline {\Sigma }}=\Sigma _{11}-\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\Sigma _{21}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acdf4c420f1190f4ab0f40a579ad36410b146fc)
Matrize hori
-ren Schur-en osagarria da
-en. Horrek esan nahi du baldintzapeko kobariantza-matrizea kalkulatzeko kobariantza-matrize globala alderantzikatu egiten dela, baldintzatzen den aldagaiei dagozkien errenkadak eta zutabeak alde batera uzten direla eta, ondoren, berriro alderantzikatzen dela baldintzapeko kobariantza-matrizea lortzeko.
Kontuan har jakina dela
bariantza aldatzen duela, nahiz eta bariantza berria ez den
balio zehatzaren araberakoa; agian, harrigarriagoa dena, batezbestekoa
-tik aldatzen da; Konparatu hori ezagutzen ez den
balioaren egoerarekin; kasu horretan,
-ek banaketa gisaizango luke:
matrizea erregresio-koefizienteen matrize bezala ezagutzen da.
Baldintzazko itxaropena aldagai bikoa
Bada
gero
non azken ratio horri alderantzizko Mills ratioa deitu ohi zaio.
Fisher-en informazio matrizea
Fisher Information Matrix-ek (FIM) formulazio berezi bat hartzen du banaketa normal baterako. FMI-ren elementua
-rentzako da:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}={\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \mu ^{\top }}{\partial \theta _{n}}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4502e9eaa2471aca2b4b3b257c0b90de11a229)
non
![{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \mu _{1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \mu _{2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \mu _{N}}{\partial \theta _{m}}}&\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de94483d44c3b9d8815db5336042e20765d242a)
![{\displaystyle {\frac {\partial \mu ^{\top }}{\partial \theta _{m}}}=\left({\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}\right)^{\top }={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \mu _{1}}{\partial \theta _{m}}}\\\\{\frac {\partial \mu _{2}}{\partial \theta _{m}}}\\\\\vdots \\\\{\frac {\partial \mu _{N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5101248a48676e871919df2a73b7d4ade93175)
![{\displaystyle {\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Sigma _{1,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{1,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{1,N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\{\frac {\partial \Sigma _{2,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{2,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{2,N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial \Sigma _{N,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{N,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{N,N}}{\partial \theta _{m}}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6818713a0923a306c96ae25d4798fe3d3bb358)
matrize baten aztarna funtzioa da.
Kullback-Leibler dibergentzia
Kullback-Leiblerren dibergentzia
a
da:
![{\displaystyle D_{\text{KL}}(N0\|N1)={1 \over 2}\left(\log _{e}\left({\det \Sigma _{1} \over \det \Sigma _{0}}\right)+\mathrm {tr} \left(\Sigma _{1}^{-1}\Sigma _{0}\right)+\left(\mu _{1}-\mu _{0}\right)^{\top }\Sigma _{1}^{-1}(\mu _{1}-\mu _{0})-N\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2957bfe9351e557f4f04e52a2bd131d3503cbe)
Logaritmoa e oinarriarekin hartu behar da bi terminoetan (logaritmo neperiarrak); logaritmoari jarraituz, dentsitate-funtzioaren faktore biak diren adierazpenen logaritmo naturalak daude, edo, bestela, modu naturalean sortzen dira. Goiko dibergentzia nat-etan neurtzen da. Goiko adierazpena loge 2 artean zatituz biten dibergentziari bide ematen zaio.
Parametroen estimazioa
Aldagai anitzeko banaketa normal baten kobariantza matrizearen probabilitate maximoaren estimatzailearen deribazioa da, agian harrigarriro, sotila eta dotorea. Ikus kobariantza matrizeen estimazioa.
Laburbilduz, N dimentsioko aldagai anitzeko normal baten probabilitate-dentsitate-funtzioa da:
![{\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-N/2}\det(\Sigma )^{-1/2}\exp \left(-{1 \over 2}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c24a584dc789da49670db1b0b2f9b302663cf2b)
eta kobariantza matrizearen MV estimatzailea n behaketetako lagin baterako da:
![{\displaystyle {\widehat {\Sigma }}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(X_{i}-{\overline {X}})^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4824f6e90473f638eb4bf6331fe5e2f39dd619)
laginaren kobariantza matrizea besterik ez dena. Hau Itxaropena duen estimatzaile alboratuarena da:
![{\displaystyle E[{\widehat {\Sigma }}]={n-1 \over n}\Sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6792e687b17e3dcc425f941fe9271344cd472b)
Laginaren kobariantza alboragabea da:
![{\displaystyle {\widehat {\Sigma }}={1 \over n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(X_{i}-{\overline {X}})^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70d2a6bda16861ecbe5b22e0e5fb6b304e26264)
Entropia
Aldagai anitzeko banaketa normalaren entropia diferentziala[4] da:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h\left(f\right)&=-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\left(N+N\ln \left(2\pi \right)+\ln \left|\Sigma \right|\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln\{(2\pi e)^{N}\left|\Sigma \right|\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a20862b400c7a5a45687bb3b6073d05a63ea04)
non
den
kobariantza matrizearen determinatzailea.
Aldagai anitzeko normaltasun-probak
Aldagai anitzeko normaltasun probek datu multzo jakin batek aldagai anitzeko banaketa normalarekin duen antzekotasuna egiaztatzen du. Hipotesi nulua da datu multzoa banaketa normalaren antzekoa dela, beraz, p-balio nahiko txiki batek datu ez-normalak adierazten ditu. Aldagai anitzeko normaltasun proben artean, Cox-Small proba[5] eta Smith eta Jain-en[6] Friedman-Rafsky probaren egokitzapena daude.
Banaketa-balioak simulatzea
Ausazko bektore bat simulatzeko oso erabilia den metodoa
aldagai anitzeko banaketa normaletik
-dimentsioa batez besteko bektorearekin
eta kobariantza matrizea
(simetrikoa eta definitu positiboa izateko eskatua) honela funtzionatzen du:
-ren Choleskyren deskonposizioa kalkulatzen da; hau da, beheko matrize triangeluar bakarra
hala nola
aurkitzen dugu. Kontuan har beste edozein
matrize baldintza hori betetzen duena, hau da,
-ren erro karratua dela, erabil liteke, baina, askotan, halako matrize bat aurkitzea, Cholesky-ren deskonposizioaz gain, dezente zailagoa izango litzateke konputazionalki. - Dela
osagaiak dituen bektorea
aldagai normalak eta independenteak aldatzen direnak (sor daitezkeenak, adibidez, Box-Muller metodoa erabiliz. - Dela
![{\displaystyle X=\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6da18a6b2844f471ce22978f0e620ff7e5eaf4)
![{\displaystyle \mu +AZ\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab9e59477ce6b5c71622073e3f19712531876ab)
Erreferentziak
- ↑ Véase MVNDST en (incluye código FORTRAN) o (incluye código MATLAB).
- ↑ Véase también normalmente distribuidas e incorreladas no implica independencia
- ↑ Nikolaus Hansen. The CMA Evolution Strategy: A Tutorial. .
- ↑ Gokhale, DV; NA Ahmed, BC Res, NJ Piscataway. (mayo de 1989). «Entropy Expressions and Their Estimators for Multivariate Distributions» Information Theory, IEEE Transactions on 35 (3): 688–692. doi:10.1109/18.30996..
- ↑ Cox, D. R.; N. J. H. Small. (agosto de 1978). «Testing multivariate normality» Biometrika 65 (2): 263–272. doi:10.1093/biomet/65.2.263..
- ↑ Smith, Stephen P.; Anil K. Jain. (septiembre de 1988). «A test to determine the multivariate normality of a dataset» IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 10 (5): 757–761. doi:10.1109/34.6789..
Kanpo estekak