Matematikako topologia alorrean erabilitzen den termino bat da. Espazio topologiko bateko ireki oinarria familia bat da espazioko edozein ireki ez-huts bertako elementuen bildura gisa adierazteko aukera ematen diguna.
Ireki-oinarriak
topologia sortzen duela esango dugu, eta bertako elementuei oinarriko ireki deituko diegu. Oinarriak oso erabilgarriak dira, izan ere, topologien propietate asko, topologia sortzen duen oinarriari buruzko baieztapenetara laburbil daitezke. Horrez gain, hainbat topologia askoz errazago definitzen dira ireki-oinarriak emanda, topologia osoa emanda baino.
Definizioa
espazio topologikoan, topologia ezagun batekin lanean gabiltzanean,
ireki-oinarri bat ote den jakiteko ondorengo baliokidetasuna erabili daiteke:
edo aipatu dugun bezala eta baliokidea dena:
Hau da,
topologiaren ireki-oinarria izango da baldin eta soilik baldin
ireki bateko edozein puntu hartuz, existitzen bada
oinarriko elementu bat, puntu hori barruan duena
irekitik atera gabe. [1]
Adibideak
espazio topologikoan
ohiko topologiaren,
, ireki-oinarria da.
espazioan, bola irekiek
-ren ireki-oinarria osatzen dute.
topologia diskretuan, espazioko irekiak
multzoko azpimultzo guztiak direla,
familia
-ren ireki oinarria da.
Ohartu ireki-oinarriak ez direla bakarrak. Are gehiago,
-ren ireki oinarria bada, eta
, orduan
ere, ireki-oinarria da.
Oinarri batek sortutako topologia
Orokorrean, azpimultzoz osatutako familia batek ez du topologia baten ireki-oinarri bat osatuko. Interesgarria da ordea hau noiz gertatuko den aztertzea, izan ere, modu honetara
familia batetik topologia berri bat sortu ahalko dugu. Jarraian azaltzen den teoremak irizpide hauek zehaztuko dizkigu.
Teorema
Izan bitez,
multzoa eta
. Topologia zehaztuta ez dagoenean,
familia topologiaren baten ireki oinarria izango da baldin eta hurrengo bi baldintzak betetzen baditu:
![{\displaystyle \bigcup _{B\in \beta }B=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a73dc0b94b0303401727468cd4e5545bf7d9624)
![{\displaystyle \forall B_{1},B_{2}\in \beta ,\forall x\in B_{1}\cap \ B_{2},\exists B_{3}\in \beta :x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5fa83ed17b64c7cd99e3f530f8452908a8964a)
2. baldintza honi baliokidea izango da:
. Eta hauek dira zehazki bete behar diren baldintzak
familiako multzoen bildura guztiek
-ren gaineko topologia bat osa dezaten.
Beraz, bi baldintza hauek betetzen dituen
familiatik abiatuz,
-ren gaineko topologia bat sor dezakegu. Topologia hau
barne duten
-ren gaineko topologia guztien ebakidura izango da eta honela definituko dugu:
Hau da gertatzen dena adibidez espazio metrikoekin. Orokorrean, espazio metriko batek,
, beti sortzen du espazio topologiko bat,
, bola irekien bidez.
Topologien arteko konparaketak
Izan bitez
eta
-ren gaineko bi ireki-oinarri eta
sortzen dituzten topologiak, hurrenez hurren. Orduan, esaten da
baino finagoa dela
denean. Biek topologia bera sortzen badute berriz,
eta
baliokideak direla esango dugu.
Proposizioa
Beste modu batean esanda,
baino finagoa izango da
-ko edozein irekitako edozein puntu hartuta
-eko elementu bat existitzen bada
barruan duena eta
-ko ireki horretatik ateratzen ez dena.
Adibidea
Adibidez, har ditzagun ohiko topologia eta Sorgenfreyren topologia, hau da,
eta
ireki-oinarriek sortutako topologiak. Nabaria da ohiko topologiako tarte bateko edozein puntu hartuz beti aurki dezakegula Sorgenfreyren topologiako oinarriko irekiren bat puntu hori estaltzen duena eta aldi berean ohiko topologiako tartearen barruan dagoena. Aldiz, alderantziz aztertuz, Sorgenfreyren topologiako
tartea izanik eta
puntuko ohiko topologiako edozein oinarriko ireki bilatzen badugu beti aterako gara
tartetik. Beraz
baino finagoa izango da.
Erlazionatutako teoremak
- Izan bitez
topologien ireki-oinarriak hurrenez hurren, orduan
biderkadura kartesiarra
biderkadura topologiaren ireki-oinarria da. - Izan bedi
, espazio topologikoaren ireki-oinarria eta Y bere azpiespazioa.
-ko elementu bakoitzaren eta Y-ren arteko ebakidura eginez gero, lortutako multzoen familia
azpiesapzio topologikoaren ireki-oinarria izango da. - Izan bitez,
espazio topologikoa eta
. Orduan,
ireki-oinarria izango da baldin eta soilik baldin
ingurune oinarria bada
multzoko edozein x elementurako.
- Izan bedi
bi espazio topologikoren arteko aplikazioa. Orduan,
aplikazioa irekia izango da baldin eta soilk baldin
ko edozein oinarriko irekiren irudia irekia baldin bada
-n.
aplikazioa jarraitua izango da baldin eta soilik baldin
ko edozein oinarriko irekiren aurreirudia irekia bada
-n.
Hemen ikus daiteke ireki-oinarriak erabiltzearen abantaila.
Azpioinarriak
Batzuetan, ditugun familiek ez dituzte ireki-oinarriak izateko baldintzak betetzen. Baina baldintza ahulagoekin ere posible da topologia bat sortu ahal izatea. Ikusiko dugunez, benetan eskatu beharreko baldintza minimoa familiako elementuen bildura
multzoa osoa izatea da. Hori betetzen duten familiei azpioinarri izena ematen zaie. Hainbat propietate frogatzeko nahikoa izango da azpioinarrien irekiak kontuan hartzea. Jarraian ikusiko dugu zein modutan sortzen duen topologia azpioinarri batek.
Izan bitez
espazio topologiakoa eta
. Esaten da
-ren azpioinarria dela
familiaren elementuen ebakidura finitu guztiek osatutako familia,
topologiaren ireki-oinarria bada.
Adibideak
familia ohiko topologiaren azpioinarria da.
familia topologia diskretuaren azpionarria da. - Topologia guztiak bere buruaren azpionarri dira.
Ireki-oinarriekin gertatzen den moduan, hemen ere interesgarria da
multzoa eta
familia baditugu,
familiak topologiaren baten azpioinarria izan dadin ze baldintza bete behar dituen ikustea.
Proposizioa
Izan bitez,
multzoa eta
,
baldintza betetzen bada
familiak topologia berri bat sortuko du. Izan ere,
familiak topologiaren baten ireki-oinarria izateko baldintzak betetzen ditu, eta beraz sortutako topologia ondokoa izango da:
Erreferentziak
- ↑ Topology 2nd. Edition James R. Munkress
Kanpo estekak