Boson de Schwinger

Les bosons de Schwinger sont des particules fictives introduites par Julian Schwinger[1],[2]pour représenter les opérateurs de spin en mécanique quantique au moyen du formalisme de seconde quantification.

Soient b σ {\displaystyle b_{\sigma }} avec σ =↑ , ↓ {\displaystyle \sigma =\uparrow ,\downarrow } les opérateurs d'annihilation des bosons de spin σ {\displaystyle \sigma } , et b σ † {\displaystyle b_{\sigma }^{\dagger }} les opérateurs de création. Les opérateurs de spin S {\displaystyle S} sont donnés par les relations

S + = S x + i S y = b ↑ † b ↓ {\displaystyle S^{+}=S_{x}+iS_{y}=b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\downarrow }}

S − = S x − i S y = b ↓ † b ↑ {\displaystyle S^{-}=S_{x}-iS_{y}=b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\uparrow }}

S z = 1 2 ( b ↑ † b ↑ − b ↓ † b ↓ ) {\displaystyle S^{z}={\frac {1}{2}}(b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }-b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow })}

avec la contrainte b ↑ † b ↑ + b ↓ † b ↓ = 2 S {\displaystyle b_{\uparrow }^{\dagger }b_{\uparrow }+b_{\downarrow }^{\dagger }b_{\downarrow }=2S} . Si on élimine la contrainte pour avoir une seule espèce de boson, on retrouve le formalisme d'Holstein et Primakoff.

Généralisations

Le formalisme des bosons de Schwinger, initialement appliqué à l'étude des représentations du groupe S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} , peut se généraliser au cas des groupes S U ( N ) , N ≥ 3 {\displaystyle SU(N),N\geq 3} et permet de construire leurs représentations irréductibles[3].

Applications en physique de la matière condensée

Le formalisme des bosons de Schwinger est utilisé dans la théorie de l'antiferromagnétisme pour traiter les systèmes où les fluctuations sont importantes[4],[5]. Il permet en particulier de reproduire le gap de Haldane et les états de bord dans la chaîne de spin-1 antiferromagnétique[6]. Sur un réseau bipartite, on peut remplacer les spins S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} par des spins S U ( N ) {\displaystyle SU(N)} dans la représentation fondamentale sur un des sous réseaux, et par des spins dans la représentation conjuguée sur l'autre sous-réseau, puis prendre la limite N → + ∞ {\displaystyle N\to +\infty } [4] dans laquelle l'approximation de champ moyen devient exacte. Sur un réseau non-bipartite, qui peut se rencontrer dans le magnétisme frustré, la généralisation adaptée consiste à replacer les spins S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} par des spins S p ( N ) {\displaystyle Sp(N)} [7]correspondant à un groupe symplectique.

Notes et références

  1. ↑ (en) J. Schwinger, « ON ANGULAR MOMENTUM », preprint, no NYO-3071, 4389568,‎ , NYO–3071, 4389568 (DOI 10.2172/4389568, lire en ligne [PDF], consulté le )
  2. ↑ Julian Schwinger, On angular momentum, Mineola, NY, Dover, (1re éd. 1952) (ISBN 978-0-486-78810-4 et 0-486-78810-5, OCLC 897436527, lire en ligne)
    republication du preprint de 1952
  3. ↑ Manu Mathur, Indrakshi Raychowdhury et Ramesh Anishetty, « SU(N) Irreducible Schwinger Bosons », Journal of Mathematical Physics, vol. 51, no 9,‎ , p. 093504 (ISSN 0022-2488 et 1089-7658, DOI 10.1063/1.3464267, lire en ligne, consulté le )
  4. ↑ a et b Claudine Lacroix (dir.), Philippe Mendels (dir.), Frédéric Mila (dir.), Assa Auerbach et Daniel P. Arovas, Introduction to Frustrated Magnetism: Materials, Experiments, Theory, Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, (ISBN 9783642105890, lire en ligne), chap. 14 (« Schwinger Bosons Approaches to Quantum Antiferromagnetism »), pp. 365-377
  5. ↑ Shang-Shun Zhang, E. A. Ghioldi, L. O. Manuel et A. E. Trumper, « Schwinger boson theory of ordered magnets », arXiv:2109.03964 [cond-mat],‎ (lire en ligne, consulté le )
  6. ↑ (en) T. K. Ng, « Edge states in Schwinger-boson mean-field theory of low-dimensional quantum antiferromagnets », Physical Review B, vol. 47, no 17,‎ , p. 11575–11578 (ISSN 0163-1829 et 1095-3795, DOI 10.1103/PhysRevB.47.11575, lire en ligne, consulté le )
  7. ↑ Rebecca Flint et P. Coleman, « Symplectic N and time reversal in frustrated magnetism », Physical Review B, vol. 79, no 1,‎ , p. 014424 (ISSN 1098-0121 et 1550-235X, DOI 10.1103/PhysRevB.79.014424, lire en ligne, consulté le )
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