Anello artiniano

In algebra astratta, un anello artiniano è un anello in cui ogni successione decrescente di ideali è stazionaria (condizione della catena discendente). Come scoperto da Emil Artin, questa tipologia di anelli riunisce sotto la medesima classificazione due classi di anelli con proprietà simili:

  • anelli formati da un numero finito di elementi;
  • anelli che sono spazi vettoriali a dimensione finita su un campo.

Definizione

Per un generico anello, esistono più definizioni di anello artiniano:

  • anello artiniano sinistro: anello i cui ideali sinistri soddisfano la condizione della catena discendente;
  • anello artiniano destro: anello i cui ideali destri soddisfano la condizione della catena discendente;
  • anello artiniano propriamente detto (o artiniano bilatero): anello artiniano destro e sinistro.

Se l'anello è commutativo, le tre definizioni sopra coincidono. Le definizioni coincidono anche per le due classi di anelli citate nell'introduzione.

Un modo equivalente di esprimere la definizione è richiedendo che l'anello sia un modulo artiniano su sé stesso (con le dovute varianti nel caso sinistro e destro).

Proprietà

  • Il teorema di Artin-Wedderburn caratterizza gli anelli semplici artiniani come anelli di matrici su anelli con divisione; gli anelli artiniani semplici sono inoltre tutti bilateri;
  • ogni anello artiniano sinistro (destro) è un anello noetheriano sinistro (destro).

Bibliografia

  • Charles Hopkins, Rings with minimal condition for left ideals, in The Annals of Mathematics, vol. 40, n. 3, luglio 1939, pp. 712-730, DOI:10.2307/1968951. URL consultato il 29 aprile 2007.

Voci correlate

  • Anello noetheriano

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