Vettore area

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In geometria, il vettore area (o vettore superficie) per una superficie è il vettore ${\displaystyle \mathbf {S} }$ di intensità pari all'area ${\displaystyle S}$ della superficie e direzione perpendicolare al piano della superficie:

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S}$

dove ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ è il versore normale alla superficie. Per una superficie curva il vettore superficie è dato da

${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}}$

dove ${\displaystyle S_{i}}$ sono gli elementi di superficie piani, ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{i}}$ è il versore normale ad ogni elemento di superficie ${\displaystyle S_{i}}$.

La formulazione integrale del vettore superficie è data dall'integrale sugli elementi di superficie

${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS}$

ovvero

${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} =\int \mathbf {\hat {n}} dS}$

Per una superficie curva il vettore superficie ha modulo minore dell'area, e per una superficie chiusa è nullo. Il concetto di area vettoriale semplifica il calcolo del flusso attraverso una superficie, che può essere scritto come il prodotto scalare del campo per il vettore superficie.

La proiezione dell'area su, ad esempio, il piano x-y, è equivalente alla componente z del vettore area, ed è da

${\displaystyle \mathbf {S_{z}} =\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta }$

dove ${\displaystyle \theta }$ è l'angolo tra il piano normale e l'asse z.

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