円錐台(えんすいだい、英: circular truncated cone)は、底面が円である錐台である。つまり、円錐を底面に平行な平面で切り、小円錐の部分を除いた立体図形である。
プリンの形は一般的には円錐台である。受験数学、特に日本の中学入試でよく出題される立体である。
体積
初等的な導出
錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合(日本の多くの小中学生はそうである)、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。ここで、一般の錐台の体積公式を求めておく。上底面、下底面の面積をそれぞれ S1, S2, 高さを h とする。 もとの大きな錐体の高さ H は
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {S_{1}}}{\sqrt {S_{2}}}}={\frac {H-h}{H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49824aa2b19fb756b6ca2bf35b69a83d87b45632)
を満たす。これを H について解くと、
![{\displaystyle H={\frac {{\sqrt {S_{2}}}h}{{\sqrt {S_{2}}}-{\sqrt {S_{1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2971aaf6252a5c253cae5a5728c974b651739588)
となる。錐台の体積 V は
![{\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{2}H-{\frac {1}{3}}S_{1}(H-h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bbd91294714b9250669be332cdc37642d3bbbe)
であるから、先ほどの H を代入して整理すると
![{\displaystyle V={\frac {h}{3}}{\Bigl (}S_{1}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}}+S_{2}{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05bfaf4b85169d1abb9ac9e6339a372ea5f4912b)
となる。
これにより、上底面の半径 r1, 下底面の半径 r2, 高さ h の円錐台の体積 V は
![{\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41a31015ddb24578cb660c48432517781404be4)
となる。
積分
体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。
![{\displaystyle V=\int _{0}^{h}\pi \left({\frac {r_{1}-r_{2}}{h}}x+r_{2}\right)^{2}\,dx={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f87db29a40749b8189632ec3fb5c938c26ec56d)
または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が
![{\displaystyle {\frac {{r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9118d9ca2fd41c36ff2b74c401210b4ebd2b52)
であることに注意してパップス=ギュルダンの定理を用いると、
![{\displaystyle V=2\pi {\frac {{r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}\times {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}h={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c972fae58c52e6dae3f3842a46cbab2f2dedb36)
となる。
側面積
上底面の半径 r1, 下底面の半径 r2, 母線 l の円錐台の側面積 SS は
![{\displaystyle S_{\rm {S}}=\pi (r_{1}+r_{2})l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5667629070d5c5ad20313f531cf3f3ce73f6ce)
となる。
関連項目
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