K이론에서, 뒤틀린 K이론(뒤틀린K理論, 영어: twisted K-theory)은 어떤 3차 특이 코호몰로지류에 의존하는, 위상 K이론의 일반화이다.[1]
정의
다음이 주어졌다고 하자.
- 하우스도르프 콤팩트 공간
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 3차 특이 코호몰로지류
![{\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3529a4db9e18dfa170b6bc15c1163a1b848920)
임의의 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간
의 프레드홀름 작용소의 공간을
![{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d37292d4e114a50b0acfed69ac180382d15a670)
라고 하자. 이는 작용소 노름을 통하여 거리 공간을 이루며, 이는 0차 복소수 위상 K군의 분류 공간이다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(-)=[-,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe75dd5fee4fe534e79cfb58e72aab3cdd6a0d2)
의 사영 유니터리 군
![{\displaystyle 1\to \mathbb {C} ^{\times }\operatorname {id} _{\mathcal {H}}\to \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {U} ({\mathcal {H}})\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be49891cbddcc722a6bf7018cb7330b4c3f3f20)
을 생각하자. 그 호모토피 유형은 무한 순환군의 2차 에일렌베르크-매클레인 공간
이다.
![{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\simeq \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382a653811f00a33316bfbf1a946f96ebc4c4084)
따라서,
에 대응되는
-주다발
![{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10faeb262e361742561890d04692128904b44332)
을 고를 수 있다. 그렇다면,
는
및
위의 오른쪽 군 작용을 갖는다.
![{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7781bd489f6288e04fd9e767c052ed68af748005)
![{\displaystyle (A,[U])\mapsto U^{-1}AU\qquad \forall U\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea92362c1449657d8ea6dbb2724cd029cedc026)
따라서, 등변 함수
![{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c895c6ff992548099d02581f853a362192c0aa2)
의 개념을 정의할 수 있다.
등변 호모토피류를 통한 정의
의,
에 대한 뒤틀린 K군은 등변 연속 함수 공간의 연결 성분의 집합
![{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[P_{H},\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef8461185139fdf41031b7806c03cb7dd1b3b70)
이다.
단면 호모토피류를 통한 정의
연관 벡터 다발
![{\displaystyle P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c755faadbecf69a161564800247ec0f54e232c7e)
를 생각하자.
의,
에 대한 뒤틀린 K군은 그 연속 단면의 공간의 연결 성분의 집합이다.
![{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[M,P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}]_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638a53bf8b59c58012d8d6f7fd7dea4c0fd45bff)
연산
뒤틀린 K군은 아벨 군을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H')\to \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H+H')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d139ac8588f118ec3618b0dabdd5375b88f7b34d)
즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 가환환을 이룬다.
예
일반 위상 K이론의 분류 공간은 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간
의 즉, 어떤 위상 공간
의 0차 복소수 위상 K군은 호모토피류로 주어진다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[M,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1482fa9f600b0f1bad64ab6707a6d41d676d07e9)
즉, 매끄러운 다양체
위의 자명한
-주다발
![{\displaystyle P=M\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e0952ae72061bc0582e521fa6f2ad746431a2f)
을 정의하였을 때, 함수
![{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c895c6ff992548099d02581f853a362192c0aa2)
가운데
의 작용에 대한 등변 함수인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 위상 K군과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[P,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578efdb6bb4873bde171825b7cdd2f1d0f99ec11)
이제, 위 구성을 자명한
-주다발 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우,
의 사영 유니터리 군
은 따라서,
-주다발은
의 3차 코호몰로지류
로 분류된다.
응용
뒤틀린 K이론은 끈 이론의 D-막을 분류한다.[2] 이 경우, 사용된 3차 코호몰로지류는 캘브-라몽 장의 장세기이다.
역사
막스 카루비(프랑스어: Max Karoubi)와 피터 도노번(영어: Peter Donovan)이 1960년대 말에 도입하였다.[3][4]
같이 보기
참고 문헌
- ↑ Karoubi, Max (2007). “Twisted K-theory old and new” (영어). arXiv:math/0701789.
- ↑ Maldacena, Juan; Moore, Gregory; Seiberg, Nathan (2010). “D-brane instantons and K-theory charges” (영어). arXiv:hep-th/0108100.
- ↑ Karoubi, Max (1968). “Algèbres de Clifford et K-théorie”. 《Ann. Sci. École Normal Superieur》 (프랑스어): 161–270.
- ↑ Donovan, Peter; Karoubi, Max (1970). “Graded Brauer groups and K-theory with local coefficients”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (영어) 38: 5–25.
외부 링크
- “Twisted K-theory”. 《nLab》 (영어).