Aksjomat pary

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna

Dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ istnieje zbiór ${\displaystyle C,}$ którego jedynymi elementami są ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Formalnie^[1]:

${\displaystyle \forall A\ \forall B\ \exists C\ \forall D\ (D\in C\iff D=A\lor D=B).}$

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ i oznaczamy ${\displaystyle \{A,B\}.}$

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru ${\displaystyle X}$ i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech

${\displaystyle A,B\in X}$

to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:

${\displaystyle \varphi (D):D=A\lor D=B}$

wtedy istnieje zbiór:

${\displaystyle \{A,B\}=\{D\in X:\varphi (D)\}}$

Dalsze konstrukcje

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu ${\displaystyle A,}$ czyli zbiór jednoelementowy:

${\displaystyle \{A\}=\{A,A\}}$^[2]

Zbiór ${\displaystyle \{A\}}$ należy oczywiście odróżniać od zbioru ${\displaystyle A.}$

Mając dane zbiory ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ możemy zatem skonstruować zbiory ${\displaystyle \{A,B\},}$ ${\displaystyle \{C\}}$ i dalej wobec aksjomatu pary ${\displaystyle \{\{A,B\},\{C\}\}.}$ Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów^[3].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary^{[potrzebny przypis]}.

Para uporządkowana

 Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B{:}}$

${\displaystyle \langle A,B\rangle =\{\{A\},\{A,B\}\}}$^[4]

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

Przypisy

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Unordered Pair, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].