| Zasugerowano, aby ten artykuł podzielić na różne artykuły. |
Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.
Iloczyn kartezjański
Niech
będzie rodziną grup, gdzie
jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański
![{\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}=G_{1}\times G_{2}\times \ldots \times G_{n}\times \ldots =\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):g_{i}\in G_{i},i\in I\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a311cec0b7a7b1251cc4ff53954a7acf18e7b86)
z działaniem
![{\displaystyle (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots )(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n},\dots ){\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2},\dots ,g_{n}h_{n},\dots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23f361a24d761bfdfd354f8e747a71186fc7d25)
Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż
- elementem neutralnym jest
gdzie
jest elementem neutralnym grupy
dla każdego ![{\displaystyle i\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f9f22d39bd7568720b485fdb9ced8f99c1c63e)
- elementem odwrotnym do elementu
jest ![{\displaystyle g^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1},\dots ,g_{n}^{-1},\dots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9364befce3c5d22a3dab27c7cb99effb831a2b7)
Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem
W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.
Iloczyn prosty
Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup
określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup
określonego równością
![{\displaystyle \coprod _{i\in I}G_{i}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):\exists _{m}\;\forall _{i>m}\;g_{i}=e_{i}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705d75412beaf8cb80b0a317adf67548a326dccc)
Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.
Własności
Jeżeli
jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis
Jeżeli jednak
jest zbiorem przeliczalnym, a
są nietrywialne dla nieskończenie wielu
to
Suma prosta
Jeżeli rozważamy grupy
z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze
![{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a82d02a6e86b1db1b48a80aba4db5d17d59718)
W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.
Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych
Jest również łączny, tzn. jeżeli
oraz
to
Jeżeli
to można udowodnić, że:
- dla dowolnych
zachodzi ![{\displaystyle h+k=k+h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b1c647a67a61325c46f2ed1c455a8fcc49c8c7)
- dla dowolnych
istnieją jednoznacznie wyznaczone
takie, że ![{\displaystyle g=h+k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77bc29e6c418178fbd00151efc3392231d0b0729)
- zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn.
jest izomorficzna z ![{\displaystyle H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8933ae7244305ae7824aa18e077d1cf946e2ee9d)
Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.
Przykłady
- grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.
Iloczyn półprosty
Iloczyn półprosty zewnętrzny
Niech będą dane grupy
i
oraz homomorfizm
grupy
w grupę automorfizmów grupy
Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup
i
za pośrednictwem
oznaczanym
nazywa się grupę składająca się z elementów
wraz z działaniem określonym wzorem
![{\displaystyle (n_{1},d_{1})(n_{2},d_{2})=\left(n_{1}\varphi _{d_{1}}(n_{2}),d_{1}d_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5fda040a7a89c4538ee0d6f26bc32d85d520c5)
oraz odwrotnością daną przez
![{\displaystyle (n,d)^{-1}=\left(\varphi _{d^{-1}}(n^{-1}),d^{-1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57877bc01c4db647007bef1f6aabc4f1dc6b5b6)
i elementem neutralnym
![{\displaystyle (e,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1ab38549a955d60e97ce517c6ff271ae8498d5)
gdzie
oraz
są elementami neutralnymi.
Iloczyn półprosty wewnętrzny
Niech
będzie podgrupą normalną w
Dopełnieniem normalnym
podgrupy
w
nazywamy zbiór spełniający warunki
oraz
(równoważnie
).
Grupę
nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup
i
co oznacza
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest dopełnieniem normalnym
Jeżeli grupa
jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup
i
to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym
za pośrednictwem homomorfizmu
określonego jako
czyli sprzężenie
przez
Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny
jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup
oraz
przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.
Własności
wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm
jest trywialny.
jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy
są przemienne oraz
jest trywialny.
Przykłady
- Grupa diedralna rzędu
jest iloczynem półprostym wewnętrznym ![{\displaystyle D_{n}=\mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a914d61ff878a3313c76e054168c3e0531809045)
- Grupa izometrii przestrzeni
jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.
Zobacz też
Bibliografia
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.