Zbieżność według rozkładu

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą^[a] zbieżnością.

Definicja

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech ${\displaystyle F_{\xi }}$ oznacza dystrybuantę wektora losowego ${\displaystyle \xi .}$ Ciąg wektorów losowych ${\displaystyle (\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego ${\displaystyle \xi ,}$ jeżeli ciąg dystrybuant ${\displaystyle (F_{\xi _{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F_{\xi }.}$ Wektor losowy ${\displaystyle \xi }$ nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych ${\displaystyle (\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Uwagi

• Zdanie „ciąg ${\displaystyle (\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny według rozkładu do ${\displaystyle \xi }$”, używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:

${\displaystyle \xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\xi .}$

• Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to stąd, iż jeśli ${\displaystyle \xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\xi }$ to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora ${\displaystyle \xi }$ jest granicą ciągu ${\displaystyle (\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-Wolda

 Osobny artykuł: Twierdzenie Craméra-Wolda.

Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

Przykład

Na przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),P),}$ gdzie ${\displaystyle P}$ jest jednowymiarową miarą Lebesgue’a określoną na σ-ciele ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}$ borelowskich podzbiorów przedziału ${\displaystyle [0,1],}$ określamy ciąg ${\displaystyle (\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ zmiennych losowych, danych wzorami:

${\displaystyle \xi _{k}(\omega )=\left\{{\begin{array}{cl}0,&0\leqslant \omega \leqslant {\frac {k}{2k+1}}\\1,&{\frac {k}{2k+1}}<\omega \leqslant 1\end{array}}\right.,\,k\in \mathbb {N} }$

Dystrybuanta ${\displaystyle F_{\xi _{k}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ zmiennej losowej ${\displaystyle \xi _{k}}$ jest więc postaci:

${\displaystyle F_{\xi _{k}}(x)=\left\{{\begin{array}{cl}0,&x<0\\{\frac {k}{2k+1}},&0\leqslant x<1\\1,&x\geqslant 1\end{array}}\right.}$

Ciąg dystrybuant ${\displaystyle (F_{\xi _{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ jest, przy ${\displaystyle k\to \infty }$ zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F(x)}$ danej wzorem:

${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{cl}0,&x\leqslant 0\\{\frac {1}{2}},&0<x\leqslant 1\\1,&x>1\end{array}}\right.}$

w każdym punkcie ${\displaystyle x}$ będącym punktem ciągłości dystrybuanty ${\displaystyle F.}$ Ciąg ${\displaystyle (F_{\xi _{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F.}$

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych ${\displaystyle (\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa ${\displaystyle \eta (\omega )}$ dana wzorem:

${\displaystyle \eta (\omega )=\left\{{\begin{array}{cl}0,&0\leqslant \omega <{\frac {1}{2}}\\1,&{\frac {1}{2}}\leqslant \omega \leqslant 1\end{array}}\right.}$

jak również zmienna losowa ${\displaystyle \gamma (\omega )}$ dana wzorem:

${\displaystyle \gamma (\omega )=\left\{{\begin{array}{cl}1,&0\leqslant \omega <{\frac {1}{2}}\\0,&{\frac {1}{2}}\leqslant \omega \leqslant 1\end{array}}\right.}$

Reasumując:

${\displaystyle \xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\eta }$ oraz ${\displaystyle \xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\gamma .}$

Uwagi

Bibliografia

• Andrzej Pacut: Prawdopodobieństwo. Teoria, modelowanie probabilistyczne w technice. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985, s. 484–488. ISBN 83-204-0524-6.
• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 53. ISBN 83-01-09054-5.