Teorema de Stolz-Cesàro

Em matemática, o teorema de Stolz–Cesàro, denominado em homenagem aos matemáticos Otto Stolz e Ernesto Cesàro, é um critério para provar a convergência de uma sequência.

Seja ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} e ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} duas sequências de números reais. Suponha que b n {\displaystyle b_{n}} é estritamente crescente, ilimitada e que o seguinte limite existe:

lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n = ℓ .   {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\ell .\ }

Então, o limite

lim n → ∞ a n b n   {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\ }

também existe e é igual a ℓ.

A forma geral do teorema de Stolz–Cesàro é o seguinte (veja http://www.imomath.com/index.php?options=686): Se ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} e ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} são duas sequências tal que b n {\displaystyle b_{n}} é monótona e ilimitada, então:

lim inf n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n ≤ lim inf n → ∞ a n b n ≤ lim sup n → ∞ a n b n ≤ lim sup n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n . {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}


O Teorema de Stolz–Cesàro pode ser visto como uma generalização da Cesàro mean, mas também como uma l'Hôpital's rule para sequências. O caso ∞/∞ foi provado nas páginas 173—175 do livro de Stolz de 1885, e também na página 54 do artigo de Cesàro de 1888. Apareceu como o Problema 70 em Pólya and Szegö.

Referências

  • Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p. 85 (restricted online copy, p. 85, no Google Livros)
  • Stolz, O. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Teubners, Leipzig, 1885, pp. 173–175. (online copy at Internet Archive)
  • Cesaro, E., Sur la convergence des séries, Nouvelles annales de mathématiques Series 3, 7 (1888), 49—59.
  • Pólya, G. and Szegö, G. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, v. 1, Berlin, J. Springer 1925.

Ligações externas

  • l'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem at imomath.com
  • Predefinição:PlanetMath

Este artigo incorpora material de Stolz-Cesaro theorem do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.