Gaussiska primtal

Ett gaussiskt heltal ${\displaystyle z}$ är ett gaussiskt primtal, om det endast har triviala faktoriseringar, alltså sådana där en av faktorerna är någon av "enheterna" 1, -1, den imaginära enheten ${\displaystyle i}$ eller ${\displaystyle -i}$, men ${\displaystyle z}$ självt inte är en enhet.

Ett vanligt primtal ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ^{+}}$ är ett gaussiskt primtal om och endast om ${\displaystyle p=4n+3}$ för något naturligt tal ${\displaystyle n}$.^[1]

Om ${\displaystyle p=2}$ är ${\displaystyle p=-i(1+i)^{2}=i(1-i)^{2}}$, alltså är 2 inte ett gaussiskt primtal. Om ${\displaystyle p=4n+1}$, så har ${\displaystyle p}$ en icke-trivial faktorisering i ringen av gaussiska heltal och är därmed inte heller ett gaussiskt primtal. ^[1] Exempelvis är ${\displaystyle 5=(2+i)\,(2-i)}$ och ${\displaystyle 13=(3+2i)\,(3-2i)}$, så 5 och 13 är primtal i vanlig mening men inte gaussiska primtal.

Se även

• Faktorisering
• Gaussiska heltal
• Primtal

Referenser