Produkt (matematik)

Matematiska operationer
v • r
Addition (+)
term + term
addend + addend 		= summa
Subtraktion (−)
term − term
minuend − subtrahend 		= differens
Multiplikation (× eller ·)
faktor × faktor
multiplikator × multiplikand 		= produkt
Division (÷ eller /)
täljare / nämnare
dividend / divisor 		= kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor = rest
Exponentiering (^)
basexponent = potens
n:te roten (√)
grad √radikand = rot
Logaritm (log)
logbas(potens) = exponent

Produkt är resultatet av multiplikation för olika matematiska objekt.

Produkt av tal

Resultat av en multiplikation

Resultatet av en multiplikation kallas produkt. I uttrycket

a ⋅ b = c {\displaystyle a\cdot b=c}

kallas a och b faktorer medan c kallas produkt.[1]

Produkttecken

Om ett större antal faktorer ska multipliceras ihop, kan produkten ibland skrivas förkortat.

∏ k = a b f ( k ) {\displaystyle \prod _{k=a}^{b}f(k)}

betyder produkten av alla faktorer f(k) där k varierar från a till b. Tecknet ∏ är den grekiska bokstaven pi och kallas här produkttecken. Produktnotationen är särskilt användbar beträffande produkter med oändligt eller okänt antal faktorer.

Som exempel kan produkten

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ n {\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n} ,

det vill säga n-fakultet, skrivas

n ! = ∏ x = 1 n x {\displaystyle n!=\prod _{x=1}^{n}x} .

Produkt av vektorer

Vektorer kan multipliceras till skalärprodukter och vektorprodukter (till exempel en kryssprodukt).[2] Inom funktionalanalysen kan ett funktionsrum definiera en inre produkt och en yttre produkt.

Cartesisk produkt

Huvudartikel: Cartesisk produkt

Produkten (även kallad den cartesiska produkten) av två mängder A {\displaystyle A} och B {\displaystyle B} är mängden av alla ordnade par ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ) vars första element a {\displaystyle a} finns i A {\displaystyle A} och vars andra element b {\displaystyle b} finns i B {\displaystyle B} . Produkten av A {\displaystyle A} och B {\displaystyle B} skrivs A × B {\displaystyle A\times B} , så definitionen kan sammanfattas A × B = { ( a , b ) : a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}} .[3]

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (Mi)i∈I är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

∏ i ∈ I M i = { ( x i ) i ∈ I : x i ∈ M i  för  i ∈ I } {\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i\in I\}} .

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

∏ i = 1 n M i = M 1 × … × M n = { ( x 1 , … , x n ) : x i ∈ M i  för  i = 1 , … , n } {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}M_{i}=M_{1}\times \ldots \times M_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i=1,\ldots ,n\}} .

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A2, A × A × A skrivs också A3, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} eller R2.

Exempel:

  • {a, b, c} × {d, e} = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)}

Referenser

Noter

Källor

  • Thompson, Jan; Thomas Martinsson (1991). Wahlström & Widstrands matematiklexikon. Wahlström & Widstrand. ISBN 91-46-16515-0 

Se även

För tal:

För mängder: