Üçüncü dereceden denklemler

Üçüncü dereceden denklemler, derecesi 3 olan polinomların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

x değişken yani bilinmeyendir ve a, b c ve d katsayılar (a ≠ 0 şartıyla), d ise sabit sayıdır.

Genel çözümü

ϑ = 27 ( a d ) 2 + d ( 4 b 3 − 18 a b c ) + 4 a c 3 − ( b c ) 2 {\displaystyle \vartheta ={\sqrt {27(ad)^{2}+d(4b^{3}-18abc)+4ac^{3}-(bc)^{2}}}}

ϱ = ϑ 6 3 a 2 − 27 a 2 d − 9 a b c + 2 b 3 54 a 3 {\displaystyle \varrho ={\frac {\vartheta }{6{\sqrt {3}}a^{2}}}-{\frac {27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{54a^{3}}}}

x 1 = ϱ 3 + b 2 − 3 a c 9 a 2 ϱ 3 − b 3 a {\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{\varrho }}+{\frac {b^{2}-3ac}{9a^{2}{\sqrt[{3}]{\varrho }}}}-{\frac {b}{3a}}} olur.

Diğer iki kökü:

x 2 = x 1 c i s 2 π 3 ⇒ x 2 = x 1 [ − 1 2 + i 3 2 ] {\displaystyle x_{2}=x_{1}cis{\frac {2\pi }{3}}\Rightarrow x_{2}=x_{1}[-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]}

x 3 = x 1 c i s 4 π 3 ⇒ x 3 = x 1 [ − 1 2 − i 3 2 ] {\displaystyle x_{3}=x_{1}cis{\frac {4\pi }{3}}\Rightarrow x_{3}=x_{1}[-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]}

Üçüncü dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntılar:

Kökler toplamı: x 1 + x 2 + x 3 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}}

Kökler çarpımı: x 1 x 2 x 3 = − d a {\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}

Ve x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}}} dır.

Kökleri verilen üçüncü dereceden denklemin yazılması:

Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = 0 {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0} dır.

Denklemin bir kökü biliniyorsa:

Denklemin bilinen kökü p olsun ve bu denklem

( x − p ) ( a x 2 + b x + c ) = 0 {\displaystyle (x-p)(ax^{2}+bx+c)=0} şeklindedir. Çünkü bir (x-p) parantezi alınıp geriye ikinci dereden denklem kalmıştır. Üçüncü denklemin bir kökü biliniyorsa Polinom bölmesi yapılır. Geriye kalan ikinci dereden denklem çarpanlara ayırma veya x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x_{1},_{2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} formülüyle çözülebilir. Bu denklemin açılmış hali aşağıdadır.

Bu denklem genelde a x 3 + ( b − a p ) x 2 + ( c − b p ) x − c p = 0 {\displaystyle ax^{3}+(b-ap)x^{2}+(c-bp)x-cp=0} şeklindedir.

Diğer yazılar

  • Numberempire http://www.numberempire.com/equationsolver.php28 Ağustos 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Yazının Bağlantısı: III. Dereceden Denklemin Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar
  • Yazının Kategorisi: II. ve III. Dereceden Denklemler, Matematik 2 (LYS)