Dalga denklemi

Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Genellikle elektromanyetik dalgalar gibi dalgalar için dalga denkleminin vektörel formülasyonu kullanılır. Bu formülasyonda elektrik alanları ${\displaystyle (E_{x},E_{y},E_{z})}$ şeklindeki vektörlerle gösterebilir ve vektörün her bi bileşeni skaler dalga denklemine uymak zorundadır. Yani vektörel dalga denklemleri çözülürken her bir bileşen ayrı ayrı çözülür. Denklemin en basit hali aşağıdaki şekliyle gösterilir,

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u=c^{2}({\partial ^{2}u \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{3}^{2}}+....)}$

Burada c reel bir sabittir ve genellikle dalganın hızıdır, u bir dalganın pozisyonunu gösterir, t zamandır ve x dalganın uzaydaki pozisyonudur. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için birkaç diğer gösterimleri aşağıdaki gibidir,

Gösterim	Açıklama
${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}D_{t}^{2}\right)u=0}$	${\displaystyle D_{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ operatörü
${\displaystyle c^{2}\nabla ^{2}u-u_{tt}=0}$	${\displaystyle u_{tt}\,}$: u'nun zamana göre 2. türevi
${\displaystyle \square u=0}$	${\displaystyle \square }$: d'Alembert İşlemcisi

Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dağılım) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı ${\displaystyle v_{f}={\frac {w}{k}}}$ kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan

${\displaystyle \left(cu^{2}\nabla ^{2}-D_{t}^{2}\right)u=0}$

şeklinde biçimlenir.

Tek boyutta çözümü

Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür. ${\displaystyle \nabla ^{2}\to {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

d'Alembert çözümü

${\displaystyle \eta \equiv x-ct\,}$ ve ${\displaystyle \xi \equiv x+ct\,}$

tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}}$

yazılabilir.

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {\partial \xi }{\partial x}}=1}$

olduğundan,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta \partial \xi }}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}}$

ifadesi ve aynı yol izlenerek

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta \partial \xi }}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}}$

ifadesi elde edilebilir. İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=4{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta \partial \xi }}=0}$

olarak yazılır. Dolayısıyla denklem,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta \partial \xi }}=0}$

durumuna indirgenmiş olur. Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak

${\displaystyle u(\eta ,\xi )=f(\eta )+g(\xi )=f(x-ct)+g(x+ct)\,}$

olarak bulunur. Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler.

Fourier dönüşümü ile

Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü ${\displaystyle u(x,t)\mapsto U(k,t)}$ yapılırsa

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)}$

biçimine dönüşür.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}\mapsto (ik)^{n}}$

denkliği kullanılarak

${\displaystyle (ik)^{2}U(k,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}U(k,t)}$

diferansiyel denklemi elde edilir. Burada, ${\displaystyle t\mapsto w}$ dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir. Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözüm...

${\displaystyle U(k,t)=A(k)e^{ikct}+B(k)e^{-ikct}\,}$

olarak elde edilir. Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür. ${\displaystyle U=U(k,t)\,}$ Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır.

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }U(k,t)e^{ikx}dk={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[A(k)e^{ikct}+B(k)e^{-ikct}\right]e^{ikx}dk}$

çözülüerek

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)e^{-ik(x-ct)}dk+{\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }B(k)e^{-ik(x+ct)}dk}$

Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm

${\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)\,}$

olarak elde edilir.

Değişkenlere ayırma yöntemi ile

Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir.

${\displaystyle u(x,t)=\mathrm {X} (x)\mathrm {T} (t)\,}$

olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır:

${\displaystyle \mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=\mathrm {X} {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}}$

iki taraf da u ya bölünürse

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {T} c^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}}$

iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir. Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, ${\displaystyle -k^{2}}$, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir. Böylece denklemin sol tarafından:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}+k^{2}\mathrm {X} =0\Longrightarrow \mathrm {X} =A\sin(kx)+B\cos(kx)}$

ve sağ tarafından da

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}+(kc)^{2}\mathrm {T} =0\Longrightarrow \mathrm {T} =C\sin(kct)+D\cos(kct)}$

bulunur. Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar. Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri ${\displaystyle K_{1}e^{ikx}}$ ve ${\displaystyle K_{2}e^{ikct}}$ olarak vermek daha rahat olur. Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir.