zeta Olasılık kütle fonksiyonu
![Zeta olasılık kütle fonksiyonu grafigi](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Zeta_distribution_PMF.png/325px-Zeta_distribution_PMF.png) log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak için verilmiştir; süreklilik ifade etmezler.) |
Yığmalı dağılım fonksiyonu
![Zeta KDF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Zeta_distribution_CMF.png/325px-Zeta_distribution_CMF.png) |
Parametreler | |
Destek | |
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF) | |
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) | |
Ortalama | |
Medyan | |
Mod | |
Varyans | |
Çarpıklık | |
Fazladan basıklık | |
Entropi | |
Moment üreten fonksiyon (mf) | |
Karakteristik fonksiyon | |
Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır.[1][2] Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:
![{\displaystyle f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6951e38f735f8c7755132f39e71cc2a820843e3d)
Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).
Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.
Momentler
Genel olarak, ninci ham moment Xnin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:
![{\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ba5fb97daacf74fcf8273c55d01a5785066d46)
Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment
![{\displaystyle m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {for}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {for}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9be2d9088a21d653350e3ccbeeacbd4144b5d99)
olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n ≥ s - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'
Moment üreten fonksiyon
Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:
![{\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f420ac7d6652b5e556adc7e4c2c366df1520a67c)
Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve
için geçerlidir ve bu halde
![{\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92b53043b68788dffc3d469e4445825748bb48b)
Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7198e69b2f69b87e2618838579a5f27a8c840e7)
Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir s 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden
![{\displaystyle \scriptstyle |t|\,<\,2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5919ffecb6b302c8cbbd99afe39afab103b5849)
için şu ifadeyi elde ederiz:
![{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{n=0,n\neq s-1}^{\infty }{\frac {\zeta (s-n)}{n!}}\,t^{n}={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})-\Phi (s,t)}{\zeta (s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b5bad939e4358c9fa596bde786946b10f7a81f)
değeri şöyle verilir
![{\displaystyle \Phi (s,t)=\Gamma (1-s)(-t)^{s-1}{\text{ for }}s\neq 1,2,3\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2559771889dee7bedb8244947d0a0a9a137368d)
![{\displaystyle \Phi (s,t)={\frac {t^{s-1}}{(s-1)!}}\left[H_{s}-\ln(-t)\right]{\text{ for }}s=2,3,4\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8333cc7efd186423c7cff9c01976908267e089)
![{\displaystyle \Phi (s,t)=-\ln(-t){\text{ for }}s=1,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1bbadd6eb65feda599b0f7b64a8f5dca178ae0)
burada Hs bir harmonik sayı olur.
s=1 hali
Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428bc4fea658d5f304ca9a53008d03f32b2511)
var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade
![{\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618068cf76987ff4b3943d94c42d54b3d4ba261a)
bu yoğunluğa eşittir.
Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tam sayısı ;d olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:
![{\displaystyle \log(d+1)-\log(d),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea45a0f6037c715fc9ae14bcdfb2f49428e8898)
Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.
Kaynakça
- ^ Hajek, Alan (2016). The Oxford handbook of probability and philosophy (1. bas.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199607617.
- ^ Racine, Jeffrey (2014). The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944.
Ayrıca bakınız
Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:
Dış bağlantılar
- Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı X bir rassal değişken olarak -log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır
|
---|
Ayrık tek değişkenli ve sonlu destekli | |
---|
Ayrık tek değişkenli ve sonsuzluk destekli | |
---|
Sürekli tek değişkenli ve [0,1] gibi bir sınırlı aralıkta destekli | Beta · Irwin-Hall · Kumaraswamy · Kabartılmış kosinus · Üçgensel · U-kuadratik · Sürekli tekdüze · Wigner yarımdaire |
---|
Sürekli tek değişkenli ve genellikle (0,∞) yarı-sonsuz aralığında destekli | Beta prime · Bose–Einstein · Burr · Ki-kare · Coxian · Erlang · Üstel · F-dağılımı · Fermi-Dirac · Katlanmış normal · Fréchet · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Yarı-normal · Hotelling'in T-kare · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare (Ölçeklenmiş ters ki-kare) · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Lévy · Log-normal · Log-logistik · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hız · Nakagami · Merkezsel olmayan ki-kare · Pareto · Faz-tipi · Rayleigh · Relativistik Breit–Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Kesilmiş normal · 2.tip Gumbel · Weibull · Wilks'in lambda |
---|
Sürekli tek değişkenli ve (-∞,∞) arasındaki tüm reel doğru üzerinde destekli | Cauchy · Uçsal değer · Üstel güç · Fisher'in z · Genelleştirilmiş hiperbolik · Gumbel · Hiperbolik sekant · Landau · Laplace · Lévy çarpık alfa-durağan · Logistik · Normal (Gauss tipi) · Normal ters Gauss-tipi · Çarpık normal · Student'in t · 1.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt |
---|
Çok değişkenli (birleşik) | Ayrık: Ewens · Beta-binom · Multinom · Çokdeğişirli Polya Sürekli: Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · normal-ölçeklenmiş ters gamma · Normal-gamma Matris-değerli: Ters-Wishart · Matris normal · Wishart |
---|
Yönsel, Bozulmuş ve singuler | |
---|
Aileler | Üstel · Doğasal üstel · Konum-ölçekli · Maksimum entropi · Pearson · Tweedie |
---|