| Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Schrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.
Matematikai forma
Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:
![{\displaystyle \left(\beta mc^{2}+\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}p_{k}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3319ceac01324cc21b91f39c513f576bbd92123f)
ahol:
- m a részecske nyugalmi tömege
- c a fénysebesség,
- p az impulzus operátora,
a redukált Planck-állandó, - x és t a tér- és időkoordináták.
Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es
és
mátrixok, és
a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, minthogy önadjungáltak, továbbá antikommutálnak egymással:
![{\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c9f7ffc834536f75d1c5442636ae73e782a657)
![{\displaystyle \alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a3ad89f72e414e63011122174d8c6ef351c624)
ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.
Kovariáns alak
A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja
![{\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc\psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff450f4ab5a935a85ac83cc14b688a34105db87)
ahol a kétszer szereplő indexekre (μ = 0, 1, 2, 3) összegzünk,
a négyesgradiens és
gamma mátrixok vagy Dirac mátrixok. A gamma mátrixok teljesítik a
![{\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b582c2f52571b5b4f533fe8b858d0e1a758301)
antikommutációs relációt, ahol
a Minkowski-metrika és a
mátrixok Clifford-algebrát alkotnak (Dirac-algebra). A
operátorokat
mátrixokkal reprezentáljuk. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac ábrázolás)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209faf845ea0eaa9d4dee67c7a68ffa1deda6696)
melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2 egységmátrix
segítségével a következő alakban írhatók bevezetve a
mátrixot
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081baa01d1b7509f54e48f2a4cf90b38f07a3586)
Valószínűségi áram megmaradása
Bevezetve a konjugált spinort
,
ahol ψ† a hullámfüggvény adjungáltja, valamint felhasználva, hogy
,
a Dirac-egyenlet konjugálásával valamint jobbról
-lal való beszorzásával előáll a konjugált Dirac-egyenlet
.
A Dirac-egyenletet balról
-sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról
-vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy
![{\displaystyle \partial _{\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9859fc9bbe8635de971edef74366277dde9715f1)
amely a valószínűségi áramsűrűség megmaradását fejezi ki. A valószínűségi áramsűrűség
,
melynek nulladik komponense a valószínűségi sűrűség
![{\displaystyle j^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f181cf2ced9713091d1033628307f32f54b3e357)
További információk
- P. A. M. Dirac: Theory of electrons and positrons. www.nobelprize.org (1933. december 12.) (Hozzáférés: 2014. november 20.)
|
---|
Alapfogalmak | | ![{\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73dedde3df5c6a1f9ddb62f12972366c10189145) |
---|
Fontos kísérletek | |
---|
Alapegyenletek | |
---|
Kifejlett elméletek | |
---|
Interpretációk | Koppenhágai · Ensemble · Rejtett változók · Transactional · Sok-világ · Consistent histories · Kvantumlogika · Az (ön)tudatosság eredménye összeesés |
---|
Tudósok | |
---|
Fizikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap