A hullámegyenlet a klasszikus mechanikában és elektrodinamikában egy olyan idő- és térkoordinátában is másodrendű parciális differenciálegyenlet, amely leírja egy hullám terjedését az anyagon (közvetítő közegen) keresztül. Az egyenletnek számos formája van a hullámvezetés és a közvetítő anyag fajtájától függően.
A nemrelativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, a Schrödinger-egyenlet az időkoordinátában elsőrendű.
A relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, a Dirac-egyenlet a térkoordinátákban is elsőrendű, különben nem teljesülhetne a Lorentz-invariancia.
A klasszikus fizika hullámegyenlete
D’Alembert hullámegyenlete anyagokra
Egy dimenzióban a hullámegyenlet formája:
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8248c2e2840a50e19a799e20440d43f64f8ac6)
Általános megoldása, ahogy Jean le Rond d’Alembert megadta:
![{\displaystyle \phi (x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a4b6f0458269385be727be322aff16ef4d4d03)
Ez két impulzusnak felel meg, az egyik (F) a +x irányban, a másik (G) a −x irányban. A fenti egyenlet értelemszerűen kibővíthető térbeli hullámegyenletté a megfelelő y és z tagok hozzáadásával.
Nemlineáris hullámegyenlet tömegáramláshoz vezethet.
Hullámegyenlet az elektromágnesességben
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png) | Bővebben: Maxwell-egyenletek |
A klasszikus elektrodinamika hullámegyenlete a Maxwell-egyenletekből vezethető le. Induljunk ki a Maxwell-egyenletek alábbi alakjából, ahol nincsenek jelen töltések (ρ = 0), valamint nem folyik áram (j = 0):
M1:
M2:
M3:
M4:
A fentiekben
, illetve
.
M4-et idő szerint deriválva az (1), illetve véve M2 rotációját a (2) összefüggésre jutunk:
(1):
(2):
Az utóbbi (2) egyenlet bal oldala a rotáció szorzási szabályának (
) megfelelően átírható, de ez M1 alapján most:
(3):
összefüggést kapjuk. Ezek után (1)-et (2)-be írva, felhasználva a (3)-as összefüggést, az alábbi differenciálegyenlet adódik:
Felhasználva az
és
összefüggéseket, az alábbi differenciálegyenlet áll elő:
A fenti egyenletet hullámegyenletnek nevezzük. Ennek időfüggetlen vagy az időfüggésről leválasztott formája a Helmholtz-egyenlet.
Abban az esetben, ha P nem lineáris, a nemlineáris hullámegyenletet kapjuk. Erről részletesebben a nemlineáris optika címszó alatt olvashatunk.
Megoldása
Egy térdimenzióban
Az egydimenziós
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6227ae28a6e16728ff0e8b2f13fc3601ba352570)
hullámegyenlet általános megoldásának alakja:
![{\displaystyle u\left(t,x\right)=f(x+ct)+g(x-ct)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d0977a73a6d44563450e0ae2bbe0f3eff2ee87)
ahol f és g kétszer differenciálható. Az első összeadandó a balra, a második összeadandó a jobbra futó hullámot írja le.
Az f és a g függvények kifejezhetők koszinuszos függvények lineáris kombinációjaként:
![{\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d61087c91ee69676e790178d72999eff7de7da)
vagy a komplex exponenciális függvénnyel:
![{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb43843cdfe226561358535458293f232713253)
![{\displaystyle u(t,x)={\text{Re}}\int \mathrm {d} k\,a(k)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (k\,x-\omega \,t)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a0ef9a329ac6a676020189233ebdd8c825fad3)
Ahol is k a hullámszám.
A frekvencia:
.
A
fázisszöget az
komplex amplitúdó foglalja magában.
Adott kezdeti feltételekkel
Legyen
az egydimenziós hullámegyenlet megoldása. Adva legyenek még az
és az
kezdeti feltételek.
Ekkor
![{\displaystyle u\left(0,x\right)=f(x)+g(x)=\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987024356a297b931a2b48ef0fa6d8f7a4ed8b06)
![{\displaystyle u_{t}\left(0,x\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)=\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe84efeb6c70f69bff3042dbb5b3e3fba3d8c003)
A második egyenletet integrálva:
![{\displaystyle f(x)-g(x)={\frac {1}{c}}\int \limits _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae435465ccc657663f2092ce29fe4f95a65824f3)
Megoldva:
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)+{\frac {1}{c}}\int \limits _{x_{0}}^{x}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81167c010e6d02a29fd817ef751f5365f2322cd8)
![{\displaystyle g(x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x)+{\frac {1}{c}}\int \limits _{x}^{x_{0}}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603868f06de148d0c77367c35a28160654045b6f)
Így a kezdeti feltételes megoldás:
![{\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x+ct)+\phi (x-ct)+{\frac {1}{c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87507d8c5d25bf22ee4aa391cd5b364c9c9702d5)
Két térdimenzióban
Két dimenzióban az egyenlet alakja:
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac4fa74f06ae29beeb5f394d6f2340ff1ed6df1)
Megoldásának általános alakja:
![{\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c672fb4ff8562e06a3f2572745f88a1bc75dcd9d)
Ez a megoldás a magasabb dimenziós egyenletek megoldóképletéből is levezethető.
Három vagy több térdimenzióban
Az általános megoldás magasabb dimenzióban is kifejezhető síkhullámok lineáris kombinációjaként:
![{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mathbf {k} \mathbf {x} -\omega t)},\ {\text{ahol}}~\omega =\left|\mathbf {k} \right|c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b474af1b27b97a693ddfacf7b0676f1acc270a0)
és egy ilyen síkhullám c sebességgel mozog a
irányban.
A megoldás általános alakja
![{\displaystyle u(t,\mathbf {x} )={\text{Re}}\int \mathrm {d} ^{n}k\,a(\mathbf {k} )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mathbf {k} \,\mathbf {x} -|\mathbf {k} |\,c\,t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2ba2c798fefeb946b60a8459b917e1b5bda4a4)
Itt nem látszik, hogyan függ a kezdeti értéktől a megoldás.
Három dimenzióban a megoldás előáll a kezdeti értékek középértékeként. Legyen
a függvény, φ és ψ adott függvények
![{\displaystyle u(0,\mathbf {x} )=\phi (\mathbf {x} )\,,~{\frac {\partial }{\partial t}}u(0,\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} )\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfe0db2d7b404727106b5ef29bd945c008e3ebc)
Ha most feltesszük, hogy c = 1, akkor a kezdeti értékhez tartozó megoldás megadható a középértékek lineáris kombinációjaként:
![{\displaystyle u(t,\mathbf {x} )=t\,M_{t,\mathbf {x} }[\psi ]+{\frac {\partial }{\partial t}}(t\,M_{t,\mathbf {x} }[\phi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63571fe2525a5dc8f5eb94e13c568b8455f6c370)
Itt
![{\displaystyle M_{t,\mathbf {x} }[\chi ]={\frac {1}{4\,\pi }}\int \limits _{-1}^{1}\!\!\mathrm {d} \cos \vartheta \int \limits _{0}^{2\pi }\!\!\mathrm {d} \varphi \,\chi (\mathbf {x} +t\mathbf {n} (\vartheta ,\varphi ))\quad {\text{ahol}}\quad \mathbf {n} (\vartheta ,\varphi )={\begin{pmatrix}\sin \vartheta \cos \varphi \\\sin \vartheta \sin \varphi \\\cos \vartheta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ac2ad6eea8f37fb29b42804c84d1b0f4a91f07)
a χ függvény középértéke az x középpontú |t| sugarú gömbön. Külön megemlítendő, hogy
Ahogy ez az előállítás mutatja, a kezdeti érték feladat megoldása folytonosan függ a kezdeti értéktől, és a t időpontban az x-beli érték csak azoktól az y pontokban felvett értékektől függ, amely y-okból a c = 1 sebességgel haladó hullám elérhetett x-be. Magyarul, a hullám c = 1 sebességgel halad, és eleget tesz a Huygens-elvnek.
Alacsonyabb dimenziókban nem teljesül a Huygens-elv, az x-beli érték azoktól az y pontokban felvett értékektől is függhet, amely y-okból a c = 1 sebességnél lassabban haladó hullám elérhetett x-be. Páros dimenziókban hasonlóan nem teljesül a Huygens-elv.
Az inhomogén hullámegyenlet megoldása három dimenzióban:
![{\displaystyle u(t,\mathbf {x} )=t\,M_{t,\mathbf {x} }[\psi ]+{\frac {\partial }{\partial t}}(t\,M_{t,\mathbf {x} }[\phi ])+{\frac {1}{4\pi }}\int _{|\mathbf {z} |\leq |t|}\!\!\mathrm {d} ^{3}z\,{\frac {v(t-{\text{sgn}}(t)|\mathbf {z} |,\mathbf {x} +\mathbf {z} )}{|\mathbf {z} |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef991702d0bb905217eec74599cd6d5d916aa946)
Az inhomogenitás és a kezdeti érték hatása a hullám sebességével terjed.
Peremérték-feladatok
Egy térdimenzióban
Egy x = 0 és x = L között kifeszített hajlékony húr eleget tesz a hullámegyenletnek minden t > 0 és 0 < x < L-re. Az u különböző peremfeltételek adhatók:
![{\displaystyle -u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b3eed34f0c89d3f333d3d83b6bb1148e903074)
![{\displaystyle u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a376db134ad4de9b3a45836c9ebeb073ee70b)
ahol a és b nem negatív. Ha azt akarjuk, hogy a határpontokban u nulla legyen, akkor a-nak és b-nek a végtelenbe kell tartania.
A változók szétválasztásával
![{\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39566f99d998c9e8c7e25d99ac727bcea3e4ac79)
Következik, hogy
![{\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e539ed6a39ba1bff9d2355f3ca995571dceb9fcb)
A λ sajátérték a
![{\displaystyle v''+\lambda v=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb4ccc93567b4b001ee34a20c47a80bfb74ff84)
![{\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc22b82ff9c1bf903a860b5b079b8421bce85742)
rendszer nem triviális megoldása, ami az általánosabb Sturm–Liouville-tétel speciális esete. Ha a és b is pozitív, akkor az összes sajátérték pozitív lesz, és megoldásként trigonometrikus függvények adódnak. Az u-ra és ut-re adott négyzetesen integrálható kezdeti feltételekre adott megoldás ezek szerint a függvények szerint trigonometrikus sorba fejthető.
Magasabb dimenzióban
Az egydimenziós feltételek elmélete magasabb dimenzióba is kiterjeszthető. Tekintsük a D tartományt az m dimenziós X térben, és jelöljük a határát B-vel. Ekkor a változókra a következőknek kell teljesülniük: x D-beli, és
. D határán az u megoldásra kikötjük, hogy
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ade3c5417fda29d349862ac06dc4dbfa128762)
ahol n a B-ről kifelé mutató normális egységvektor, és a a B-n definiált nem negatív függvény. Ha u-nak nullának kell lennie a határon, akkor a-nak a végtelenbe kell tartania.
A kezdeti feltételek:
![{\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}=g(x),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbcdaddf6d6fa42d927f85205cf7a5f3073cf2c)
ahol f és g a D-n értelmezett függvények. A feladat megoldható f és g sajátfüggvények szerinti sorfejtésével.
Ezek a sajátfüggvények eleget tesznek ezeknek az egyenleteknek:
![{\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c6530e2f7f73a9d8da7fac916230b45e549e28)
D-ben, és
![{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c864ae174ca66cdea48f8721a6c638f9bc947b)
B-n.
Ha D körlap, akkor a sajátfüggvények előállnak, mint egy csak a θ szögtől függő szögfüggvény, és egy, csak a középponttól való távolságtól függő Bessel-függvény szorzata. Három dimenzióban, ha a határ gömbfelület, akkor a két tényező közül az egyik egy harmonikus gömbfüggvény, a másik egy félegész Bessel-függvény.
Egydimenziós inhomogén hullámegyenlet
Egy dimenzióban az inhomogén hullámegyenlet általános alakja:
![{\displaystyle c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)=s(x,t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62fdc5e6dd8749f37b80410c3c4416ce200b2502)
ahol a kezdeti és a peremfeltételek:
![{\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2fffd21a8e43a44fd82a9685f52231e477d218)
![{\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec64c962876b5297c6b1038cfc5b18183a16bc7)
Az
függvényt forrásfüggvénynek is nevezik, mivel a forrás tulajdonságainak hatását írja le.
Az egyik módszer kihasználja, hogy a hullám véges sebességgel terjed, ami azt jelenti, hogy a
pontban felvett érték csak
és
értékétől függ, és
értéke
és
közé esik. Ez a d’Alembert-formulában is látható:
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b849ead58fc730499961b512e223a0f325e64b41)
Fizikai szempontból tekintve: ha a maximális terjedési sebesség
, akkor nincs a hullámnak olyan része, ami adott idő alatt eljutva egy pontba ne hatna az ottani amplitúdóra. Ez azt jelenti, hogy a megoldásban csak a terjedési kúpban levő pontokat kell tekintetbe venni. Jelölje a
pontra ható pontok halmazát
. Az inhomogén hullámegyenletet
-n integrálva:
![{\displaystyle \iint \limits _{R_{C}}\left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)dxdt=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f13935edd43ddde4b448f6f48350bb99b305d71)
Green-tétellel:
![{\displaystyle \int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66320571d1dc0bc2ffe6a1f0f8ccf47609e986eb)
A bal oldal három könnyen számítható integrál összege:
![{\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf2cf32b005ecf80ab8ad4935d5c8ce225a712a)
Az idő szerinti integrál eltűnik, mert az időtartam nulla, ezért
.
Érdemes megjegyezni, hogy
konstans, megegyezik
-vel, jól megválasztott előjellel. Ezt felhasználva
, ahol újra megfelelően választva az előjelet:
![{\displaystyle =\int _{L_{1}}\left(cu_{x}(x,t)dx+cu_{t}(x,t)dt\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc2a3adea5d5d3c38a5451ac5f86568de990b8f)
![{\displaystyle =c\int _{L_{1}}du(x,t)=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef43b90a15eef59c9dbd907d1cce72b183ab2fe5)
Ugyanígy az utolsó határszegmensre:
![{\displaystyle =-\int _{L_{2}}\left(cu_{x}(x,t)dx+cu_{t}(x,t)dt\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd820e72e28afc09cc4ec837a0bac7664cc2002e)
![{\displaystyle =-c\int _{L_{2}}du(x,t)=-\left(cf(x_{i}-ct_{i})-cu(x_{i},t_{i})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363e2a6a2e378315f1bfe16c100a911aba173c76)
![{\displaystyle =cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a319de95ed03d683b10362451090d59580f1da)
Összeadva és visszahelyettesítve:
![{\displaystyle -\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e939c4b0fe8cb9ac115bc5557a21a843bfe237a)
![{\displaystyle 2cu(x_{i},t_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba54551edc66e995e7b6c96da4713fe205ece23)
![{\displaystyle 2cu(x_{i},t_{i})=\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cf(x_{i}+ct_{i})+cf(x_{i}-ct_{i})+\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a41c2635c8c6b23f55f108e8d2b602362f2bfa)
![{\displaystyle u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+c\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)dxdt.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d42616da882d3c4a8758a770199332466996ee2)
Már csak a határokat kell explicitté tenni, és már látszik is, hogy az első két kifejezés kiadja a d'Alambert-formulát, a harmadik tag pedig csak az inhomogén tagtól függ minden
-re.
Más koordináta-rendszerekben
Az elliptikus koordináta-rendszerben felírt háromdimenziós hullámegyenlet a változók szétválasztásával visszavezethető a Mathieu-differenciálegyenletre.
Hullámegyenlet a kvantummechanikában
Nemrelativisztikus kvantummechanika
A Schrödinger-egyenlet írja le a részecskék hullámszerű viselkedését a nemrelativisztikus kvantummechanikában. A klasszikus hullámegyenlethez képest lényeges eltérés, hogy az időnek itt csak az első deriváltja szerepel. Az egyenlet megoldásai hullámfüggvények, amelyek a részecske valószínűségi amplitúdóját írják le. A kvantummechanika leírja más hullámok – mint például a hang – részecsketulajdonságait is atomi szinten és az alatt.
Relativisztikus kvantummechanika
A Dirac-egyenlet írja le a részecskék állapotát relativisztikus esetben. A fény részecsketermészetét, a fotonokat csak a relativisztikus kvantummechanika tudja leírni.
Források
- Simon–Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
- Richard Courant–David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Band 2, Springer Verlag, zweite Auflage 1968
- M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
- M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
- R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
- "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
- Ariel Lipson, Stephen G. Lipson, Henry Lipson, Optical Physics 4th Edition, "Cambridge University Press", ISBN 9780521493451
További információk
- Dispersive PDE Wiki (Hullámegyenletek matematikai vonatkozásai). tosio.math.toronto.edu arch
Fizika-portál
Matematikai portál