逆ガンマ分布(ぎゃくガンマぶんぷ、英語: inverse gamma distribution)は連続確率分布の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。
定義と性質
逆ガンマ関数の確率密度関数は形状母数(英語版)
、尺度母数(英語版)
で、台
の上で
![{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b510c8da08a97451af1b5d1abb5923f0a0c1c7ad)
と定義される[1]。ここで
はガンマ関数である。尺度母数について
![{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98a3a96b9f73773ffe470ca4e55158526cb501b)
である。逆ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。
![{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c63b6dbf650885cc792710b3de7264568b80f7)
ここで分子の
は不完全ガンマ関数である。
モーメント
の場合、
次のモーメントは
![{\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35effbeffc3640e602945ae592382abca91452c0)
である[2]。 期待値と分散はそれぞれ
![{\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384b226e41357b4f24f882870ad80ad748afc3fd)
である。
他の分布との関係
は
(逆カイ二乗分布(英語版))
は
(レヴィ分布)
(ガンマ分布、
はガンマ分布にとっての尺度母数)ならば ![{\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b575c428b3a3652abef997e604194588abec5c)
- 注意:
(ガンマ分布、
はガンマ分布にとってのrate parameter(英語版))ならば ![{\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a9a1ca31404ef4b0168a53c4de9b201479443e)
ならば
(指数分布)
脚注
- ^ “InverseGammaDistribution—Wolfram言語ドキュメント”. reference.wolfram.com. 2022年11月29日閲覧。
- ^ John D. Cook (2008年10月3日). “Inverse Gamma Distribution”. 2022年11月29日閲覧。
参考文献
- Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
- Witkovsky, V. (2001). “Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables”. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR1825758. Zbl 1263.62022.
関連項目